 是大小为2 * i 的方格的方案数。

状态转移方程：考虑铺满dp[i]的情况，分为两种：

1.剩下最后一列，竖着拼。2.剩下最后两列，横着放两个。 因此方案数为 铺满 i -1 和铺满 i - 2 的方案数之和，即斐波那契数列。

#include <iostream>

#include <vector>
using namespace std;


int main()
{
    vector<long long> dp(55);
    dp[1] = 1;

    dp[2] = 2;
    for (int i = 3; i < 55; i++)
    {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        cout << dp[n] << endl;

    }
    return 0;
}

在简单DP的基础上添加了状态的判断。

dp[i][j] 表示当前字符为i，长度为j的字符串有多少种方案

状态转移方程：分别用0，1，2对应三种字符即状态

for (int i = 2; i < 45; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 3; j++)
        {
            // 'O'
            if (j == 1)
            {
                dp[j][i] = dp[0][i - 1] + dp[2][i - 1];
            }
            else
            {
                dp[j][i] = dp[(j + 3 - 1) % 3][i - 1] + dp[j][i - 1] + dp[(j + 1 + 3) % 3][i - 1];
            }
        }
    }

#include <iostream>

#include <vector>
using namespace std;


int main()
{


    // dp[i][j] 表示当前字符为i，长度为j的字符串有多少种方案
    vector<vector<long long>> dp(3, vector<long long>(45));


    dp[0][1] = 1;

    dp[1][1] = 1;

    dp[2][1] = 1;

    for (int i = 2; i < 45; i++)

    {
        for (int j = 0; j < 3; j++)
        {
            // 'O'
            if (j == 1)
            {
                dp[j][i] = dp[0][i - 1] + dp[2][i - 1];
            }
            else
            {
                dp[j][i] = dp[(j + 3 - 1) % 3][i - 1] + dp[j][i - 1] + dp[(j + 1 + 3) % 3][i - 1];
            }
        }
    }
    int n;
    while (cin >> n)

    {
        long long ans = 0;
        for (int i = 0; i < 3; i++)
        {
            ans += dp[i][n];
        }
        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}

题目要求我们找出，没有一个中奖即排列的位置没有一个是正确的概率。就是错排数 / 排列数

#include <iostream>

#include <vector>

#include <iomanip>
using namespace std;


int main()
{
    // dp[i] 表示 i 个人的都没中奖的概率
    vector<double> dp(25);

    dp[1] = 0;
    dp[2] = 0.5;
    for (int i = 3; i < 25; i++)
    {
        dp[i] = (i - 1.0) / i * dp[i - 1] + 1.0 / i * dp[i - 2];
    }

    int n;
    cin >> n;
    while (n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        cout << fixed << setprecision(2) << dp[x] * 100 << "%" << endl;
    }

    return 0;
}

4.M个位置的错误的排序（HDU 2049）

以上一题为基础，本题可以化为，选n-m个位置正确，剩下m个位置错排。

求Cm，n也可以使用递推求解。Cm,n表示在n个里面选m个，分为第m个选不选的两种情况。

for (int i = 0; i < 25; i++)
    {
        c[i][0] = 1;
        c[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++)
        {
            c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
        }
    }

d[0] = 1;
    d[1] = 0;
    for (int i = 2; i < 25; i++)
    {
        d[i] = (i - 1) * (d[i - 1] + d[i - 2]);
    }

#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main()
{
    vector<vector<long long>> c(25, vector<long long>(25));
    vector<long long> d(25);

    for (int i = 0; i < 25; i++)
    {
        c[i][0] = 1;
        c[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++)
        {
            c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
        }
    }

    d[0] = 1;
    d[1] = 0;
    for (int i = 2; i < 25; i++)
    {
        d[i] = (i - 1) * (d[i - 1] + d[i - 2]);
    }

    int r;
    cin >> r;
    while (r--)
    {
        int n, m;
        cin >> n >> m;

        cout << d[m] * c[n][m] << endl;
    }
    return 0;
}

因为只需要考虑第n个位置，所以只要维护一个值就够

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        int state = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (n % i == 0)
            {
                state = !state;
            }
        }
        cout << state << endl;
    }

    return 0;
}

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

string standard(string s)
{
    string temp = "";
    int len = s.size();
    int startPos = 0;
    int dotPos = -1;
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        if (s[i] == '.')
        {
            dotPos = i;
            break;
        }
    }

    // 去除后置0和小数点
    if (dotPos != -1)
    {
        for (int i = len - 1; i >= dotPos; i--)
        {
            if (s[i] == '0' || s[i] == '.')
            {
                len--;
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
    }
    // 保存负号
    if (s[0] == '-')
    {
        temp += '-';
        startPos = 1;
        if (s[1] == '.')
        {
            temp += '0';
            temp += '.';
            startPos = 2;
        }
    }
    // 补充小数点前的0
    else if (s[0] == '.')
    {
        temp += '0';
        temp += '.';
        startPos = 1;
    }
    // 去除前导0
    else if (s[0] == '0')
    {
        while (s[startPos] == '0')
        {
            startPos++;
        }
    }
    for (int i = startPos; i < len; i++)
    {
        temp += s[i];
    }
    return temp;
}

int main()
{
    string a, b;
    while (cin >> a >> b)
    {
        if (standard(a) == standard(b))
        {
            cout << "YES" << endl;
        }
        else
        {
            cout << "NO" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
    map<char, int> letterM;
    for (int i = 65; i <= 90; i++)
    {
        letterM[i] = i - 64;
        letterM[i + 32] = -(i - 64);
    }

    int n;
    cin >> n;
    while (n--)
    {
        char c;
        int y;
        cin >> c >> y;
        cout << y + letterM[c] << endl;
    }
    return 0;
}

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动态规划算法解析：包含骨牌方格、状态压缩DP、错排数等经典问题解法。详细讲解斐波那契数列变体、字符排列方案计算、错排概率等算法实现，提供AC代码示例，帮助理解动态规划在编程竞赛中的应用技巧。

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