信号与系统新讲03-单位脉冲在时域和频域的体现

云深无际

发布于 2025-06-08 17:02:04

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云深之无迹

纵是相见，亦如不见，潇湘泪雨，执念何苦。

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写这个的原因是因为这个概念在后面频繁的出现

单位脉冲信号不是一个普通函数，而是一个广义函数（分布），具有以下性质：

且

它可以理解为“无限窄、无限高、面积为 1”的尖峰 —— 所有能量都集中在这一点上。

广义函数不再广义-在信号与系统中的应用

单位脉冲信号的傅里叶变换

来计算它的傅里叶变换：

因此：

时域 vs 频域图像

域别	表达式	含义
时域		瞬间爆发的无限窄峰
频域		所有频率分量强度都为 1（恒定）

时域：

单位脉冲就是在的地方有一个无穷高的尖峰，不能用普通图像完整画出，只能用“箭头表示”：

Time domain: δ(t)
|
↑
|────┬─────── t
### 频域：

其频谱为常数 1，表示它具有所有频率，频率范围从到，强度恒定：

Frequency domain: 1
|
|─────────────── constant magnitude
ω:  -∞       0       +∞

单位脉冲可以探测系统的全部特性（因为有着所有的频率）；

在 LTI 系统中，单位脉冲响应描述了系统对所有输入的反应；频域恒等于 1 ⇒ δ(t) ，包含所有频率 ⇒ 是理想“白光”或“全频探针”。

白光的光谱是可以把所有的频率分量都囊括的。

总结两个公式

然后看个图就懂了

单位脉冲 δ(t)”的矩形逼近过程

左侧：时域矩形脉冲

每行表示一个不同宽度的矩形函数；为保持单位面积，脉冲高度设置为；随着，脉冲越来越尖锐，趋于 Dirac 函数。

右侧：频域响应（sinc 函数）

傅里叶变换后是一个 sinc 函数：

越小 ⇒ 主瓣越宽、越趋于“常数”；最终趋近于理想频谱，这正是单位脉冲的频域特性。

时域收窄 → 频域扩展（极限就是时域是一条线，那对应的频域就是放飞自我了）

对应**极限情形 ⇒ ⇒ **；这正是“单位脉冲 = 所有频率全强度合成”的真实含义。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟不同宽度的矩形脉冲（逼近 δ(t)）
T_values = [1.0, 0.5, 0.2, 0.05]  # 脉冲宽度，逐步变窄
t = np.linspace(-1.5, 1.5, 2000)
omega = np.linspace(-50 * np.pi, 50 * np.pi, 2000)

plt.figure(figsize=(12, 8))

for i, T in enumerate(T_values, 1):
    # 时域矩形脉冲：单位面积 => 高度 = 1/T
    x_t = np.where(np.abs(t) <= T / 2, 1 / T, 0)

    # 频域：傅里叶变换是 sinc 函数
    X_omega = np.sinc((omega * T) / (2 * np.pi))  # 高度已为 1

    # 绘制时域
    plt.subplot(len(T_values), 2, 2 * i - 1)
    plt.plot(t, x_t, label=f"T = {T}")
    plt.title(f"时域：宽度 T = {T}")
    plt.xlabel("时间 t")
    plt.ylabel("幅度")
    plt.grid(True)
    plt.legend()

    # 绘制频域
    plt.subplot(len(T_values), 2, 2 * i)
    plt.plot(omega, X_omega, label=f"T = {T}")
    plt.title("频域：傅里叶变换 → sinc 趋于常数")
    plt.xlabel("角频率 ω")
    plt.ylabel("|X(jω)|")
    plt.grid(True)
    plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

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原始发表：2025-06-04，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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