一文揭开ADC采样电路中采样开关的“混频本质”

云深之无迹

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我写频谱折叠的时候，老哥的评论

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ok，他就说了个简单来说，那我这里就得展开说说；揭示了采样电路中模拟开关的“混频本质”。

采样电路中模拟开关的混频作用

在理想情况下，采样电路（Sample and Hold）中的模拟开关可以被视为一个乘法器，其作用是将输入模拟信号  与一个周期性的门控信号 相乘：

其中：

：模拟输入信号；

：脉冲序列（周期为采样周期 ），可以近似看作周期性的 Dirac comb：

因此，

这就是理想采样，也就是“乘以脉冲列”。

在频域中看：采样 = 混频 + 周期延拓

根据傅里叶变换的性质，时域乘法等于频域卷积：

而  是一个周期为  的冲激串：

所以：

这就是频域中的混频（频谱搬移）——把信号的频谱重复地搬移到了每个  处。

就是这个公式体现了：“采样相当于用一个本振  对输入信号混频”的频域体现。

模拟开关与混频器的物理类比

模拟开关在打开和关闭之间“乘以1或0”；乘以一个方波，其频谱包含了基频  和奇次谐波成分；等效于将输入信号同时与多个频率的“本振”混频；所以本质上，采样行为就是一种混频行为（Mixing）。

直观地展示了采样前后的频域变化过程

直观地展示了采样前后的频域变化过程

上图：时域波形

黄色线是输入正弦波 ，频率为 120 Hz；红色小圆点是以 200 Hz 采样频率采样得到的离散点；可以看到采样点“乘以了一个门控函数”，即本质上形成了乘法（混频）行为。

红色小圆点：每隔一段时间去“看一眼”的点。比如你设置每 1/200 秒采一次，就是用 200Hz 的频率在“盲人摸象”；这叫“采样”——你没法持续看，只能定时瞄一下。

下图：频域谱图

黄色实线是原始信号的频谱（单一频率分量 120Hz）；

橙色虚线是采样后的频谱，展示了以采样频率  为间隔的频谱重复（混频）现象；是采样后“频域发生的事”：原始的频率被复制了好多份，间隔是采样频率 200Hz。

可以清楚看到：频谱在  处重复，形成典型的混叠图案。

也就是说：

采样的本质，就像拿一个“频率锤子”（采样频率）去敲信号，信号就会把自己的频谱往左右各个方向反弹出去（复制频谱）。

为什么这像个“混频器”？

你用一个“门控信号”来控制什么时候采样，这个门控信号在频域上其实含有好多频率（就像一个正弦波、三角波叠起来）；当你把输入信号乘上这个门控信号，就像混频器里用一个“本振”去跟输入信号混合，结果就是——频率搬家了！（其实就是方波，开关等效，然后不纯）

这就是为什么说：

采样就像在用一个频率为采样率的本振，对信号进行混频。

那为什么要小心混频？

如果采样得不够快（比如采样率比信号频率低），频率“搬家”后会撞到一起、搞混，这就是混叠（aliasing）；这就是我们常说的：“采样频率要至少是信号最大频率的两倍”（奈奎斯特定理），否则你就不是在“采样”，而是在“破坏信号”。

混叠现象（Aliasing

混叠现象（Aliasing

上图：时间域采样

你原本的信号频率是 120 Hz；现在我们用 180 Hz 的采样频率采样（低于奈奎斯特要求的 240 Hz）；你会发现：红绿点（采样点）好像沿着一个“慢慢变化”的曲线走，这不是原来的正弦波形，而是一个“假频率”！

这就是混叠的本质：你以为采到了低频信号，实际上是高频信号伪装的样子。

下图：频域解释

黄色是原始频谱（一个 120 Hz 的尖峰）；绿色是采样后的频谱；可以看到原来的频率成分被复制到了 180Hz 附近，然后反折回来，落入了低频区，导致你以为这个信号频率不到 60Hz。

这个“错认频率”的现象就是混叠（aliasing）：

高频信号在低采样率下，会变成错误的低频成分出现在频谱中。如果你采样太慢，信号就会“乔装打扮”，骗过你的ADC，让你以为它是另一个频率。

这就是为什么采样频率要至少是信号最高频率的2倍，否则你将永远无法知道信号的真实模样。

前面说了无数次，要加混叠滤波器：

加入抗混叠滤波器前后采样的效果对比

上图：时间域波形

黄色波形：原始的 120 Hz 正弦信号；

紫色曲线：使用抗混叠滤波器后得到的信号（低通滤波，限制在 90 Hz 以下）；

紫色圆点：在 180 Hz 采样率下对滤波后的信号采样的点。

可以看到：

滤波后信号变慢了，不再有高频成分，采样点准确反映了它的趋势，没有被“误导”。

下图：频率域对比

黄色线：原始信号频谱，主峰在 120Hz；

绿色虚线：没有滤波直接采样的频谱，出现了严重混叠（假频率出现在低频段）；

紫色虚线：先滤波后采样的频谱，没有混叠，能保留真实频率信息。

加一个“低通滤波器”，就像在采样前给信号戴上了安全帽： 它砍掉了所有超过采样率一半的成分（> 90Hz），让你采样时不至于被“高速分量”迷惑。

几个低通滤波器，把搞不定的高频挡住：

用于抗混叠的**低通滤波器的幅频响应**（Frequency Response）

用于抗混叠的**低通滤波器的幅频响应**（Frequency Response）

黄色色曲线：滤波器的增益（单位是 dB），表示不同频率信号通过滤波器后的“衰减程度”。

红色虚线：截止频率 ，在这个频率处，增益大约下降到 -3dB，信号能量约为一半。

低频段（<90Hz）：几乎没有衰减（接近 0 dB），信号可以原样通过；

高频段（>90Hz）：迅速衰减（-40 dB、-60 dB…），高频成分被压制，避免混叠；

这个滤波器是 6 阶 Butterworth，特点是：通带平坦（不会“鼓包”）；过渡带不算陡峭但非常平滑；适合做前端抗混叠滤波（低噪声、相位变化小）。

from scipy.signal import butter, lfilter, freqz

# 设计一个低通滤波器（抗混叠滤波器），截止频率略低于 Nyquist = fs/2
def butter_lowpass(cutoff, fs, order=5):
    nyq = 0.5 * fs  # 奈奎斯特频率
    normal_cutoff = cutoff / nyq
    b, a = butter(order, normal_cutoff, btype='low')
    return b, a

def apply_lowpass_filter(data, cutoff, fs, order=5):
    b, a = butter_lowpass(cutoff, fs, order)
    y = lfilter(b, a, data)
    return y

# 应用抗混叠滤波器：对原始信号进行滤波后再采样
cutoff_freq = 90  # 限制最高频率 < 90Hz，避免混叠
x_filtered = apply_lowpass_filter(x, cutoff=cutoff_freq, fs=fs, order=6)

# 对滤波后的信号用低采样率采样
sampled_filtered = np.zeros_like(x)
sampled_filtered[sample_indices_low] = x_filtered[sample_indices_low]
X_sampled_filtered = fftshift(np.abs(fft(sampled_filtered)))

# 画图对比
plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, x, label="Original Signal", alpha=0.4)
plt.plot(t, x_filtered, label="Filtered Signal (<90 Hz)", linewidth=1.2)
plt.stem(t[sample_indices_low], sampled_filtered[sample_indices_low], linefmt='m-', markerfmt='mo', basefmt=" ", label="Sampled (Filtered)", use_line_collection=True)
plt.title("Time Domain: Anti-Aliasing Filter Before Sampling")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(freq, X / N, label="Original Spectrum", alpha=0.4)
plt.plot(freq, X_sampled_low / N, label="Sampled w/o Filter", linestyle='--', color='green')
plt.plot(freq, X_sampled_filtered / N, label="Sampled w/ Filter", linestyle='--', color='magenta')
plt.title("Frequency Domain: With and Without Anti-Aliasing Filter")
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Magnitude")
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

# 获取滤波器频响（幅频特性）
b, a = butter_lowpass(cutoff=cutoff_freq, fs=fs, order=6)
w, h = freqz(b, a, worN=8000)
freq_resp = (fs * 0.5 / np.pi) * w  # 转换频率单位为 Hz

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(freq_resp, 20 * np.log10(abs(h)), label="Low-pass Filter (cutoff=90Hz)")
plt.axvline(cutoff_freq, color='r', linestyle='--', label="Cutoff Frequency")
plt.title("Frequency Response of Anti-Aliasing Low-Pass Filter")
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Gain [dB]")
plt.ylim(-80, 5)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()