王道数据结构笔记：1.序论

1.1数据结构基本概念

1.1.1基本概念和术语

1. 数据

• 定义：信息的载体，用于描述客观事物的属性，包含数、字符等符号。
• 作用：是计算机程序加工处理的原料。

2. 数据元素

• 定义：数据的基本单位，作为整体处理。
• 组成：可由若干数据项构成。 例：学生记录（数据元素）由学号、姓名、性别（数据项）组成。 一个数据元素可由若干数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。

3. 数据对象

• 定义：具有相同性质的数据元素的集合。 例：整数数据对象为集合 N={0,±1,±2,… }。

4. 数据类型

• 定义：值的集合及其上操作的总称。
  • 原子类型：不可再分的数据类型。
  • 结构类型：可分解为多个成分的数据类型。
  • 抽象数据类型：数学模型及定义在其上的操作集合。

5. 数据结构

• 定义：数据元素间特定关系的集合。
• 三要素：
  1. 逻辑结构：数据元素间的逻辑关系，与存储无关。
  2. 存储结构：逻辑结构在计算机中的实现方式（物理结构）。
  3. 数据的运算：施加在数据上的运算，包括逻辑功能和具体实现。

关系图

1.1.2数据结构的三要素详解

1. 数据的逻辑结构

• 分类：
  • 线性结构：元素间为一对一关系（如：线性表、栈、队列）。
  • 非线性结构：
    • 集合：元素间只有“同属集合”关系。
    • 树形结构：元素间为一对多关系。
    • 图状结构：元素间为多对多关系。

2. 数据的存储结构

存储结构是指数据结构在计算机中的表示(又称映像),也称物理结构。它包括数据元素的 表示和关系的表示。数据的存储结构是用计算机语言实现的逻辑结构，它依赖于计算机语言。

• 存储结构的类型：
  1. 顺序存储：
     • 邻接存储，支持随机访问。
     • 优点：空间紧凑。
     • 缺点：可能产生外部碎片。
  2. 链式存储：
     • 通过指针表示逻辑关系。
     • 优点：灵活，无碎片。
     • 缺点：额外占用存储空间，访问速度较慢。
  3. 索引存储：
     • 建立附加的索引表。
     • 优点：检索速度快。
     • 缺点：需额外存储空间，增删操作复杂。
  4. 散列存储（哈希存储）：
     • 通过关键字计算存储地址。
     • 优点：增删查快。
     • 缺点：可能存在冲突，需要处理冲突。

3. 数据的运算

• 定义：针对逻辑结构，描述运算的功能。
• 实现：针对存储结构，描述具体操作步骤。场景。

1.2 算法与算法评价

1.2.1 算法的基本概念

算法定义

算法（Algorithm）是求解特定问题的步骤描述，是由有限条指令组成的序列，每条指令表示一个或多个操作。

算法的五个重要特性

1. 有穷性：算法在有限步骤内结束，且每一步可在有限时间内完成。
2. 确定性：相同输入总能得出相同输出。
3. 可行性：每个步骤可通过有限次基本运算实现。
4. 输入：零个或多个输入，取自特定集合。
5. 输出：一个或多个输出，与输入有确定关系。

设计“好”算法的目标

1. 正确性：解决问题的能力。
2. 可读性：易于理解。
3. 健壮性：能处理非法输入，避免异常输出。
4. 效率与存储优化：
   • 效率：执行时间。
   • 存储量需求：最大存储空间需求。

1.2.2 算法效率的度量

时间复杂度

1. 定义：算法执行的时间，取决于问题规模 n。
   • 频度：语句在算法中被执行的次数。
   • 时间复杂度公式：T(n)=O(f(n))，表示算法中基本运算次数的数量级。

   

2. 分类：
   • 最好时间复杂度：算法运行最快的情况。
   • 最坏时间复杂度：算法运行最慢的情况（通常考虑最坏复杂度）。
   • 平均时间复杂度：等概率下，算法期望运行时间。
3. 规则：
   • 加法规则：

   T(n)=T1(n)+T2(n)=O(max⁡(f(n),g(n)))

   • 乘法规则：

   T(n)=T1(n)×T2(n)=O(f(n)⋅g(n))

4. 常见时间复杂度比较： 𝑂(1) < 𝑂(log 𝑛) < 𝑂(𝑛) < 𝑂(𝑛 log 𝑛) < 𝑂(𝑛2 ) < 𝑂(2𝑛) < 𝑂(𝑛!) 常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < 线性对数阶 < 平方阶 < 指数阶 < 阶乘阶

空间复杂度

1. 定义：算法所需存储空间的量，记为

1. 分类：
   • O(n)：辅助空间与问题规模 n 成正比。
   • O(1)：算法为原地工作（辅助空间为常量）。
2. 定义：算法所需存储空间的量，记为

1. 分类：
   • O(n)：辅助空间与问题规模 n 成正比。
   • O(1)：算法为原地工作（辅助空间为常量）。