【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归

Francek Chen

发布于 2025-01-22 21:55:55

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PyTorch深度学习

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深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。

【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/PyTorch_deep_learning。

在【深度学习基础】线性神经网络 | 线性回归中我们介绍了线性回归。随后，在【深度学习基础】线性神经网络 | 线性回归的从零开始实现中我们从头实现线性回归。然后，在【深度学习基础】线性神经网络 | 线性回归的简洁实现中我们使用深度学习框架的高级API简洁实现线性回归。

回归可以用于预测多少的问题。比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜场数，又或者患者住院的天数。

事实上，我们也对分类问题感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：

某个电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？
某个用户可能注册或不注册订阅服务？
某个图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？
某人接下来最有可能看哪部电影？

通常，机器学习实践者用分类这个词来描述两个有微妙差别的问题：（1）我们只对样本的“硬性”类别感兴趣，即属于哪个类别；（2）我们希望得到“软性”类别，即得到属于每个类别的概率。这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是：即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。

一、分类问题

我们从一个图像分类问题开始。假设每次输入是一个

2\times2

的灰度图像。我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征

x_1, x_2, x_3, x_4

。此外，假设每个图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。

接下来，我们要选择如何表示标签。我们有两个明显的选择：最直接的想法是选择

y \in \{1, 2, 3\}

，其中整数分别代表狗、猫、鸡。这是在计算机上存储此类信息的有效方法。如果类别间有一些自然顺序，比如说我们试图预测{婴儿, 儿童, 青少年, 青年人, 中年人, 老年人}，那么将这个问题转变为回归问题，并且保留这种格式是有意义的。

但是一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。在我们的例子中，标签

将是一个三维向量，其中

(1, 0, 0)

对应于“猫”、

(0, 1, 0)

对应于“鸡”、

(0, 0, 1)

对应于“狗”：

y \in \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}\tag{1}

二、网络架构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。每个输出对应于它自己的仿射函数。在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的

），3个标量来表示偏置（带下标的

）。下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）：

o_1

、

o_2

和

o_3

。

\begin{aligned} o_1 &= x_1 w_{11} + x_2 w_{12} + x_3 w_{13} + x_4 w_{14} + b_1,\\ o_2 &= x_1 w_{21} + x_2 w_{22} + x_3 w_{23} + x_4 w_{24} + b_2,\\ o_3 &= x_1 w_{31} + x_2 w_{32} + x_3 w_{33} + x_4 w_{34} + b_3. \end{aligned}\tag{2}

我们可以用神经网络图1来描述这个计算过程。与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出

o_1

、

o_2

和

o_3

取决于所有输入

x_1

、

x_2

、

x_3

和

x_4

，所以softmax回归的输出层也是全连接层。

图1 softmax回归是一种单层神经网络

为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。通过向量形式表达为

\mathbf{o} = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}

，这是一种更适合数学和编写代码的形式。由此，我们已经将所有权重放到一个

3 \times 4

矩阵中。对于给定数据样本的特征

\mathbf{x}

，我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置

\mathbf{b}

得到的。

三、全连接层的参数开销

正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。具体来说，对于任何具有

个输入和

个输出的全连接层，参数开销为

\mathcal{O}(dq)

，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。幸运的是，将

个输入转换为

个输出的成本可以减少到

\mathcal{O}(\frac{dq}{n})

，其中超参数

可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性。

四、softmax运算

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出

\hat{y}_j

可以视为属于类

的概率，然后选择具有最大输出值的类别

\operatorname*{argmax}_j y_j

作为我们的预测。例如，如果

\hat{y}_1

、

\hat{y}_2

和

\hat{y}_3

分别为0.1、0.8和0.1，那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。

然而我们能否将未规范化的预测

直接视作我们感兴趣的输出呢？答案是否定的。因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1。另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。这些违反了【深度学习基础】预备知识 | 概率中所说的概率基本公理。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。例如，在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。这个属性叫做校准（calibration）。

社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上发明的softmax函数正是这样做的：softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持可导的性质。为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

\hat{\mathbf{y}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})\quad \text{其中}\quad \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}\tag{3}

这里，对于所有的

总有

0 \leq \hat{y}_j \leq 1

。因此，

\hat{\mathbf{y}}

可以视为一个正确的概率分布。softmax运算不会改变未规范化的预测

\mathbf{o}

之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

\operatorname*{argmax}_j \hat y_j = \operatorname*{argmax}_j o_j\tag{4}

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）。

五、小批量样本的矢量化

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。假设我们读取了一个批量的样本

\mathbf{X}

，其中特征维度（输入数量）为

，批量大小为

。此外，假设我们在输出中有

个类别。那么小批量样本的特征为

\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}

，权重为

\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{d \times q}

，偏置为

\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{1\times q}

。softmax回归的矢量计算表达式为：

\begin{aligned} \mathbf{O} &= \mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}, \\ \hat{\mathbf{Y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{O}). \end{aligned} \tag{5}

相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了

\mathbf{X}和\mathbf{W}

的矩阵-向量乘法。由于

\mathbf{X}

中的每一行代表一个数据样本，那么softmax运算可以按行（rowwise）执行：对于

\mathbf{O}

的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。在式(5)中，

\mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}

的求和会使用广播机制，小批量的未规范化预测

\mathbf{O}

和输出概率

\hat{\mathbf{Y}}

都是形状为

n \times q

的矩阵。

六、损失函数

接下来，我们需要一个损失函数来度量预测的效果。我们将使用最大似然估计，这与在【深度学习基础】线性神经网络 | 线性回归中的方法相同。

（一）对数似然

softmax函数给出了一个向量

\hat{\mathbf{y}}

，我们可以将其视为“对给定任意输入

\mathbf{x}

的每个类的条件概率”。例如，

\hat{y}_1

P(y=\text{猫} \mid \mathbf{x})

。假设整个数据集

\{\mathbf{X}, \mathbf{Y}\}

具有

个样本，其中索引

的样本由特征向量

\mathbf{x}^{(i)}

和独热标签向量

\mathbf{y}^{(i)}

组成。我们可以将估计值与实际值进行比较：

P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)})\tag{6}

根据最大似然估计，我们最大化

P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X})

，相当于最小化负对数似然：

-\log P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n -\log P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}) = \sum_{i=1}^n l(\mathbf{y}^{(i)}, \hat{\mathbf{y}}^{(i)})\tag{7}

其中，对于任何标签

\mathbf{y}

和模型预测

\hat{\mathbf{y}}

，损失函数为：

l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = - \sum_{j=1}^q y_j \log \hat{y}_j \tag{8}

在本节稍后的内容会讲到，式(8)中的损失函数通常被称为交叉熵损失（cross-entropy loss）。由于

\mathbf{y}

是一个长度为

的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项

都消失了。由于所有

\hat{y}_j

都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于

。因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签

P(\mathbf{y} \mid \mathbf{x})=1

，则损失函数不能进一步最小化。注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。

（二）softmax及其导数

由于softmax和相关的损失函数很常见，因此我们需要更好地理解它的计算方式。将式(3)代入损失函数式(8)中。利用softmax的定义，我们得到：

\begin{aligned} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) &= - \sum_{j=1}^q y_j \log \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} \\ &= \sum_{j=1}^q y_j \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j\\ &= \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j \tag{9} \end{aligned}

考虑相对于任何未规范化的预测

o_j

的导数，我们得到：

\partial_{o_j} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} - y_j = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})_j - y_j\tag{10}

换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，其中梯度是观测值

和估计值

\hat{y}

之间的差异。这不是巧合，在任何指数族分布模型中，对数似然的梯度正是由此得出的。这使梯度计算在实践中变得容易很多。

（三）交叉熵损失

现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。对于标签

\mathbf{y}

，我们可以使用与以前相同的表示形式。唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如

(0.1, 0.2, 0.7)

，而不是仅包含二元项的向量

(0, 0, 1)

。我们使用式(8)来定义损失

，它是所有标签分布的预期损失值。此损失称为交叉熵损失（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。本节我们将通过介绍信息论基础来理解交叉熵损失。

七、信息论基础

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

（一）熵

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。在信息论中，该数值被称为分布

的熵（entropy）。可以通过以下方程得到：

H[P] = \sum_j - P(j) \log P(j)\tag{11}

信息论的基本定理之一指出，为了对从分布

中随机抽取的数据进行编码，我们至少需要

H[P]

“纳特（nat）”对其进行编码。“纳特”相当于比特（bit），但是对数底为

而不是2。因此，一个纳特是

\frac{1}{\log(2)} \approx 1.44

比特。

（二）信息量

压缩与预测有什么关系呢？想象一下，我们有一个要压缩的数据流。如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。为什么呢？举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，这会是一个非常无聊的数据流。由于它们总是相同的，我们总是知道下一个数据是什么。所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。

但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到"惊异"。克劳德·香农决定用信息量

\log \frac{1}{P(j)} = -\log P(j)

来量化这种惊异程度。在观察一个事件

时，并赋予它（主观）概率

P(j)

。当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。在式(11)中定义的熵，是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。

（三）重新审视交叉熵

如果把熵

H(P)

想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？交叉熵从

到

，记为

H(P, Q)

。我们可以把交叉熵想象为“主观概率为

的观察者在看到根据概率

生成的数据时的预期惊异”。当

P=Q

时，交叉熵达到最低。在这种情况下，从

到

的交叉熵是

H(P, P)= H(P)

。

简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：（1）最大化观测数据的似然；（2）最小化传达标签所需的惊异。

八、模型预测和评估

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。在接下来的实验中，我们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能。精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

小结

softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。
softmax回归适用于分类问题，它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。
交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量，它测量给定模型编码数据所需的比特数。

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原始发表：2025-01-22，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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