【目标跟踪】匈牙利算法

前言

• 匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。1955 年，库恩 W.W.Kuhn 利用匈牙利数学家康尼格 D.Kőnig 的一个定理构造了这个解法，故称为匈牙利法。
• 在多目标跟踪 Multiple Object Tracking 中，其目的主要是为了进行帧与帧之间的多个目标的匹配，其中包括新目标的出现，旧目标的消失，以及前一帧与当前帧的目标 id 匹配。

一、偶图最大匹配

图论中有提及相关问题。其中最经典问题之一男女匹配问题。

问：如何尽可能多的让男女都可以匹配上？

解释：线段表示双方可以匹配

1. 首先按照顺序对男、女进行匹配。

1. 无法正常匹配时寻找增广路（增广路：起点与终点均为非饱和点的交错路。交错路：相邻两条边不同，如非匹配边—匹配边—非匹配）。图中男 4 —女 3 —男 3 —女 2 — 男 2 —女 4属于增广路。
2. 对增广路的匹配边与未匹配边相互交换。

1. 循环上述步骤 123 直到达到最大匹配。
2. 最终匹配结果为红线匹配结果

二、指派问题

匈牙利算法解决的问题概述：有 n 项不同的任务，需要 n 个工人分别完成其中的 1 项，每个人完成任务的成本不一样。如何分配任务使得花费成本最少？

1. 每行减去最小值

1. 每列减去最小值

1. 以最少数量的横线或者竖线划掉所有零 如果这个数量大于等于矩阵的行列数，那么跳到第 5 步
2. 在剩下的矩阵中，减去最小值；如果有零被交叉，那么把这个最小值加上去。然后重复第三步

1. 从只有一个零的行或列开始一一对应，对应完则整个行列删除

原始表格

最终匹配结果：

还有一种情况也符合（实际情况很少出现两种结果）

sklearn中源码连接：https://github.com/scikit-learn/scikit-learn/blob/0.22.X/sklearn/utils/linear_assignment_.py

c++ 匈牙利匹配算法：https://github.com/mcximing/sort-cpp/blob/master/sort-c%2B%2B/Hungarian.cpp

三、证明

令矩阵 C 为

现在我们要找最优指派

设：

3.1、某一行减或加一个值、最优结果不变。（第 1 步、第 2 步）

X ( i , j )表示第 i 行第 j 列 当选择让 i 去匹配j时 X ( i , j ) = 1 其余 X ( i , j ) = 0

可以看出两者约束方程相同，最优解必定相同，且最优值相差常数 t 。同理列也是一样

推论：减去每一行每一列减去各行各列的最小元素，得到新的矩阵最优解不变。

3.2、独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有的 0 元素（第 3 步）

独立 0 元素指的是位于不同行不同列的零元素.即同一行,同一列虽然可以有多个0,但它们只能有一个是独立的0元素

这个也比较好理解，每个人只能分配一个工作，一个工作只分配一个人。

3.3、当独立 0 元素小于矩阵的行数时，也就是还有人没有分配到工作时，继续执行 1（第 4 步），直到独立 0 元素等于矩阵行数（第 5 步）。

证明完毕。