有趣的数学-无穷原创

OK，那那那我们就开始讲今天的课吧。嗯，今天是给大家讲无穷，嗯这个嗯，大家现在接触的话，以后上很多东西都会更加方便，就比如说我们现在学微积分，就特别需要有无穷这方面的嗯知识，所以说先跟大家讲一讲，嗯今天主要是分三个部分，第一个是比数集的大小，嗯，第二个是无限集合的大小，但是这个有有一点难，所以说嗯，对大家听听就好，然后第第三个部分就是希尔伯特酒店，就是一个比较好玩的题目，嗯。那首先底数集的大小，嗯，先问个问题，你们觉得偶数集和正整数集哪个更大？就是所有偶数和所有正整数哪一个更多？可以在聊天发发答案。

你稍稍想一想，凭直觉也可以做对。啊，有两个同学说是正整数，嗯，我相信这么短的时间可能也没法做一些特别，嗯，就是特别严谨的推理，所以说可能大部分是靠直觉的，但是直觉就不一定是准的嘛。嗯，这个问题还是，嗯先要做一些铺垫的，所以说后面再讲，先我们看一些简单的，这个还是有一点麻烦，嗯，先从基础点的开始，就是如何到底怎么比大小呢？呃，就打个比方，就比如说我有24块钱，同志有23块钱，那谁的钱多，这个笔非常简单，就大家都把东西拿出来，然后数一遍，这就可以完全可以比了。

但是如果问说我和金娜，嗯，哪个人的头发多，那这个就非常麻烦了，因为大家都有可能撒谎，你如果想要证明谁比谁的多，嗯，这个方法比较奇妙，那个方法就是拔头发，就是我们两个一人拔一根，这样子轮流的来，然后最后拔到最后看谁在别人秃头的时候还剩下几根头发，嗯，就是这么一个非常粗暴的方法，嗯，但是大家可以试图尝试一下，不过也没必要这样子伤害自己，因为后面数学、物理，化学，生物，计算机啊，语文，英语，文学、历史都可以帮你顺利头，嗯，对，所以说这个方法虽然说很粗暴，但是他其实给了我们一个思路。

就是对应，我们可以通过嗯，一一对应的这个方法来找出两个集合之间的大小关系，嗯，它对应具体指什么呢？嗯，它有一个非常粗暴的步骤，就是建立两个事物之间一一对应的关系，这个可能一开始看有点晕，但是后面我们就是我会具体讲正正书记和书记那个，然后大家可能就会明白一些。

然后有了这个粗暴的步骤之后得出结论，结论也非常简单，嗯，如果这两个集合里面的东西能够恰好一一对应上，那么这两个集合是相等的，嗯，但是如果对应完之后，有一个集合，它剩下的一些部分就像嗯，如果我跟吉娜两个人拔头发，最后吉娜剩下的一些头发，那当然吉娜的头发就会更多，就是一个。逻辑非常直接的一个方法。也可以分，嗯，然后无穷的数集，嗯也是一模一样的道理，就不一定要像我们头发，因为我们发毕竟是可以数的，嗯，无穷的嗯会比较绕，但是用可以用同样的方法做出来，像之前的那个正整数集和偶数集，就是无穷的数集，然后他们俩如果要比大小的话，就要用对应这个方法。

嗯，那就进入到我们第二部分，就是无限集合的大小，实际上正整数集和偶数集都是，嗯，无限集合就是他们是无穷大的，就可以有无穷多个偶数和无穷多个正整数，这个在直上来说也是对的。嗯，那我们再回到最初的问题，偶数集和正整数集哪个更大呢？嗯，这个其实嗯这个问题你不能说谁更大，因为他们两个实际上是一样大的。嗯，一开始听上去有点反直觉，但是我们可以证明一下，就是之前对应的方法。嗯，是这样，让我康康，哎呀，这个动画没做好，没事，是这样。呀，把这个删掉就是有两步，第一步是看它的对应关系，就是我之前说过，如果在两个事物之间，嗯，能够找到对应关系，那这个问题实际上一大一大半就做好了，那我们可以就是把正整数中的一对应偶数中的二，然后正整数的二对应偶数中的四，正整数的三对应偶数中的六，然后以此类推，嗯，这样就可以让正整数的每一个都对应偶数里面的。

呃，一个数字，这样他们就可以一一对上了。嗯，听起来有点绕，但是你想一下，实际上是可以说通的，就是即使是无穷大的正整数，你还有无穷无穷大的偶数能够跟它对应上。嗯，所以说下判断的话，你会发现他们嗯之间的元素是一一对应的，那么正整数集和偶数集在这种情况下就会大小相等，嗯，就是可以通过这种方法来比较无穷数集。

大家刚刚那个我动画没做没做好那一个部分，实际上这个方法已经跟那个康托尔已经差不多了，嗯，所以说不要小看他，他看是非常粗暴，但是就是伟大数学家的想法呀，当然康尔他竟然能够出来，虽然说很粗暴，但是也非常聪明的这个对应的方法，他。非常聪明，他也当然要用同样的方法证明整数集，质数集和正整数集大小也相同，呃，他这种，嗯他这些这些结论都是用嗯跟那个正数集和偶数集那个方法非常类似的方法证明的，就是比如说嗯，正整数集和质数级，你就可以拿一对应第一个质数，然后二对应第二个质数，就是可以用完全同样的方法可以得出这个结论。

所以说无限极和，嗯，从这个角度来，这个角度来看的话不太难，嗯，然后教大家一个高级的法，就是正整数集的大小用一个符号来表示，叫做阿列夫零，然后也把正整数集叫做可数集。嗯，这个就是比较高级的手法吧，也不是特别特别重要，嗯。然后有理数集也和正整数集大小相等，嗯，这个对应方法这个地方有点绕，嗯，我怕我讲一讲讲太久了，我就先跳到后面，然后后面当彩蛋给你们讲讲吧，嗯，那就直接到第三个问题，第三个问题第三个部分，呃，这个希尔伯特这个酒店是个很好玩的，但是真的不难，所以说大家可以放心的听，嗯。

首先我们可以讲一个故事，你们可以想象一个旅，它里面有多个房间，然后它还有一个非常厉害，非常勤奋，数学还很好的夜班经理，嗯，然后有一天晚上呢，这个线旅馆里面的所有房间都住满了。嗯，也就是说有无穷多个人都住在了无穷多的房间里面，嗯，但是此时呢，又有一个人他过来了，他也想住这个酒店，嗯，这个夜班经理他毕竟学过数学，他就没有拒绝，他知道可以住下那。但是这个房间它毕竟全都已经住满了，那怎么办呢？这个就要用到无穷的方法，方法因为有无穷多个房间，你可以把每一个嗯，原先住在酒店里的人，嗯，从他们已有的房间移到下一个房间，就是比如说他们现在住在N号房间，他们可以移到N加一号房间，就是所有人都往后移了一格之后，第一个房间就可以留给新来的这位同志住了。

嗯，这个嗯看上去比较简单，嗯到后面可能会有点绕，因为现在呢，又出现了一个巴士，嗯，它里面又有个人A就相当于代表了一个随便一个数字，比如说那这个这个巴士，毕竟它也是有限的数字也会比较简单，只要把所有的客人从他们已有的房间，比如说A号房间。移到A加八这个房间所有人都往后移八个，那前面就会多出八个。然后这八格就可以，嗯，这个新来的人。

所以说这个的酒店不愧是无穷的酒店，可以不断的塞人，嗯，但是这目前都还好。但是如果，嗯，这个酒店突然引来了一个无穷大的那个巴士，然后里面有多个人，他们都想住在这里。那怎么办呢？嗯，实际上呃，我们可以就是就是这个方法不是很多人容易想到，但是想到的话会觉得这个非常简单粗暴，就是你让所有在呃。酒店里面的同志从他们已有房间走到他们房间号的两倍的房间去，就比如说他们一开始是一号房间，他就住到二号房间，一开始是二号房间，他就住到四号房间，这样子就是所有的单数都会空出来，就是1357什么的，这个也是一个无穷的，那因为它是无穷的，所以说他就可以装下，呃，这个新来的巴士里面无穷多个人。

所以说这个的酒店就可以容纳下这个新来的大的巴士和穷多的人。嗯，那我们如果还要去破那个可怜的经理的话，我们再给他A辆无穷大的车，然后里面有就是A倍的，嗯，那这个经理还可以把这些塞进去吗？嗯，我们来看看，实际上只需要跟之前呃说一辆大巴车里面有多个人呃进来的道理是一样的，嗯，只需要把原来这个酒店里面的客人从N号房间移到N乘A加一的房间，然后剩下的客人就住在剩下的房间里面，嗯，像之前就是第一个。

多人的巴士中，嗯，这个A是一。所以说只要把呃，所以说在第一个问题里面，嗯，这些客人就会移到他们已有房间号的两倍，嗯，对这个这个看起来会有点绕，但是你仔细去想想，实际上是对的，就是你可以类比呃一个大的这个问题。嗯，这个实际上就证明说，嗯，A阿列夫对阿列夫，嗯，这个这个结论大家就看看就行了，就是一个高级的表述，表述方法而已。嗯。好，那我们还要继续去迫害这个可怜的经理，我们给他无限做个无穷大的把式，就是疯狂啊，那这个经理他毕竟还是得学点学，还是可以迎刃而解的，他可以，嗯，用这个大的酒店去装这么多人。

来看看他，有一个幸运嘉宾在帮他，这位幸运嘉宾欧里德帮助他解决这个问题。嗯。我们可以顺着欧里德的方法来做一做，我们来帮助这个经理安排房间，嗯，首先我们让原来第N个房间的客人搬到二的N次方的房间去，二的N次方就是指是乘二乘N，就比如说二的二次方就是二乘二，嗯，然后下面这个表也可以看得出来。然后呢，呃，接下来让第一辆巴士，就是不是无穷多个无穷大的巴士嘛，让第一个无穷大的巴士的人，呃，住到三的N次方的房间去，嗯，这个你们一开始不太清楚这个方法在弄啥，没事你慢慢到，后面我会跟你解释，嗯，先先先看着他会闹些什么名堂出来。

嗯，就是用同样的方法，然后第二第N个人到五的N次方的去。嗯，这样子，反正目前我们看这三个。数，这三个集合里面的数字都没有重合，所以说这至少目前为止所有人都有一个房间数，甚至还剩下了很多位，嗯，这些底数你们可以观察一下。你细品一下。二三。我们想到了什么呢？

好吧，那还是我继续讲，嗯，2235呢，就是。我可以看得出来什么是质数。因为嗯质以如果以质数为底数的话，他就嗯不会跟，就是他没法用别的质数来，除了这个应该有点类似质数的特征。嗯，反正就是就是用了质数这个特殊的底数的话，那么他们就绝对绝对不会重合，所以说有因为有无多个质数，所以说就是这无穷多个。里面的无穷多个人都可以住进这无穷多个酒店。嗯，听起来有点绕。

嗯，但是事实就是这样，就像可以再一次观察一下前面这三三次，嗯，以为底呃做出来的集合，你会发现根本没有重合的，就是即使是后面越大的质数也不会有重合。所以说我们可以得出一个结论，阿列N乘以阿列等阿列，对，这就是比较玄学的一些部分了。好，今天剩下很多时间，那我们来讲一下实际上我也比较晕的部分。嗯，就是有理数的这个部分。嗯，这个对应方法我就只能告诉你，因为说实话，我自己在学的时候我也很晕，嗯，你们可以因为有理数的表示方法是A，就是B分之A，然后A和B都是。

都是整数，然后我们可以先把这些有理数整数给列出来。你看上面有1234567，然后下面就是分数，就是有理数。然后。这是一个图，我们就可以用这个图来一一对应，比如说一可以对应一二对应二，然后三对二分之，四对1/3，然后以此类推。啊，你会发现整数里面的每个元数都可以对应分数里面的一个元素，那这样子一一对应的话，也同理可以推出来有理数和，呃，有有理数集和正整数集的大小实际上是相等的。嗯，其实后面还有一个实数，实数就更乱了，就是我都不知道大家有没有学过实数，实数是。

嗯，就是包括有理数和无理数，无理数。呃，连续不循环小数就是类似派根号二这种东西，嗯，康托尔实际上在做完有理数之后，他还就是自己拆自己台去做了一下。看看史书和。呃，那个正整数积的大小相不相等。然后结果，因为他毕竟是拆了自己的台嘛，嗯，发现实际上是不等的，这个证明也非常非常的麻烦。嗯，因为我个人看的也非常，就是大家如果想听的话，我还是可以讲一下，看看你们想不想听。我怕，我怕你们讲。

嗯。是这样分享一下看看。我。嗯，大家等一下，我找一下，因为我自己也没太弄清楚，所以说就。嗯。我给大家试图讲一讲吧。

嗯，等一下啊，给大家换一下那个。屏幕。嗯。嗯，这个部分，嗯，大家看得到吗？这个实际上是我们这我们这个组合之前写的，呃，知乎里面的内容，因为这一部分我自己我就只能勉强给大家讲一讲吧，大家就听着就行了，嗯。大家来看啊，呃十呃，实数不是包含无理数，无理数是那个无呃无限不循环小数，就是它小数点后面有特别多的数，然后这些是完全没有规律的，嗯，像分数就是它会循环的那种小数。嗯，那我们看这个图上面的就是0.13416，用户发起这些，嗯，他们就相当于代表着一种一个一个不同的无理数。

嗯，就不用纠结他写的什么样，嗯，我们可以看这个图上，我们先看嗯，1234这这一列代表的就是我们的整数集。总书记。嗯，如果按之前的方法的话，我们会把正者数给一一对应到别的里面，在这个，呃，这一次里面就是对应到数级里面。嗯，你会发现一能对应其中的一个，二能够对应其中的一个非常乱的数字。但是如果我们选对角线上的数字，然后把它组成一个新的数，就是因为嗯，正准数，它有无限多个数字，所以说这一个如果把它看成一个正方形的话，它的这一个数列整数代表这个数列，它会无限的长，无穷的长，然后因为呃，无理无理数。

无理数里面它的小数是无限不循环的，所以说它后面的小数会无穷的长，所以说如果把这个当成一个正方形的话，它的横横。横就会无穷的长，所以说你取对角线上的数的话，你也会得到一个呃，无限不循环小数，这就是一个新的无理数，当然它也有可能循环，但是无论无论如何，它都会是实数。嗯，我们现在得出的这个新的，呃，实数。然后我们如果在每个数上都加一，我们可以得到一个新的数字，就是零，你看就是竖着对应零加一四加五，呸呸，四加一等于555加一等于六，就这样子，以此类推。

嗯，A，它就不会在这个列表，列表里就是这个对角线，然后各个嗯呃，那叫啥数位上面加一这个数字不会在这个列表。嗯，这个原因呢，首先它和这个列表中的第一个数字不同。嗯，你看就是。就是第一个数字，就是第一位就完全不对了，然后跟第二个数字，第二个也不同。观察那第二个数的第二位是四。然后第二位是呃，这个数的第二位是五，然后它和列表的第三个数也不同，和后面数也都不同，所以说。嗯，就是可以以此以此以此类推，你会发现就是它根本对应不上里面的任何一个数字，嗯，所以说嗯。

第N个数的第N个数字和A的第N个数字也不会对，所以说这个A呢，就是这个1.56475806等等等等这一个，它虽然说在实数集里面，但是它不会在这个一一对应的列表里面。嗯，我们也可以用相同的方法。嗯，找到无穷多个数，你就只需要把这个对角线往旁边推一下就行了，因为你可以就是你们回去也可以试一下，你会发现这样子做出来的数，它肯定不会出现在这个这个已有的列表里的。嗯，所以说实数的个数，嗯，比有理数要特别多。嗯。对，所以说光光用有理数，还有正整数集还是没法涵盖实数的，实数所以说就叫做不可数，就是你会想到之前说的正整数集，它被叫做可数集，对，就是这样。

嗯，我觉得今天今天的课可能会有点绕，嗯，大概内容是这么多。嗯，如果有问题的话，可以在聊天区里面说一下。

嗯，大家都是很聪明的小孩呀，哎呀。想一想。这也不适合。提早下课就不好。我可以再。有一些别的知识点可以跟大家讲一讲。嗯。

大家有任何其他的问题吗？就是就是比如说PPT里面看到一些你们不懂的东西。这我不确定你们有没有听过集合。你确定？如果要讲的话，也可以顺便给你讲讲。那没有问题的话，嗯。没有问题的话，应该就就就可以走了吧，今天的内容比较少。

听完了就可以下课啦。无穷的历史。嗯。你看看，我还没看过。嗯，好。那那那没事，大家下课吧，这个历史我还没备课。

拜拜。