宇宙的拓扑

以下文章来源于中国科学院国家天文台，作者苗海涛

当我们面对一个未知的事物时，大概我们每个人的脑海中都会浮现出类似这是什么、从哪儿来和到哪儿去的经典哲学三问。比如就宇宙而言，从概念上来说宇是指空间，宙是指时间，宇宙也就泛指时空，而物理上的宇宙则是一切时间和空间及其所含物质和能量的总和。我们也想知道宇宙是什么，从哪儿来和到哪儿去，而我们对宇宙的起源，结构和演化的好奇也就对应上了经典的哲学三问，这也是我们想要从科学上探究的根本问题。

也许在某个满天繁星的夜晚，你也曾仰望着头顶的天空向自己发问，宇宙到底有多大啊，它是有限的还是无限的呢，它有边界么。此时的你或许还不知道什么是所谓的拓扑，但其实你的问题已经是宇宙的拓扑想要探究的问题。

谈到拓扑时，我想大家的第一感觉是比较陌生和抽象的。拓扑是根据英文Topology音译而来的词，在中文的语境中没有直接的对应，由于其和中文构词法的不同，我们也很难一下子就把拓扑和几何相联系。而在英文中，Topology本身就包含了位置关系的含义，直接体现了与几何的联系。几何学通常研究的是空间的度量属性，像距离和曲率等；而拓扑学研究的是几何对象整体在连续形变（比如拉伸、弯曲和压缩）下的不变性质，所以拓扑学也被形象地称为橡皮泥上的几何学。

图1：普通圆环带和莫比乌斯圆环带的对比（图由豆包生成）

我们举两个常见的例子来说明拓扑的研究对象。第一个例子是莫比乌斯环带，拿一个通常的圆环带剪开扭转一次（旋转180度）再重新粘上便形成了莫比乌斯环带。我们如果只是局部去看的话，会发现普通圆环带和莫比乌斯环带并无任何差别，但是整体来看的话又有所不同，普通环带有环内和环外两个面，而莫比乌斯环带却只有一个面。我们只需尝试沿着莫比乌斯环面绕一圈就会发现又回到了起始点，而在普通环带内侧和外侧永远也无法相交。这种整体的区别正是拓扑学研究的性质，这里便涉及了拓扑性质中的可定向性。第二个例子是咖啡杯和甜甜圈的拓扑等价，从图2我们可以看到经过一系列的连续变换，咖啡杯变成了甜甜圈，在几何上咖啡杯和甜甜圈是明显不同的两个几何对象，但在拓扑上来说，它们是等价的，都是只有一个孔洞的几何体，这个洞在拓扑上也称为亏格，也是拓扑关注的性质之一。我们也能从这个例子中看出拓扑不关心几何上的距离等度量概念。

图2：咖啡杯变换成甜甜圈（图源网络）

拓扑研究的是整体几何的性质，关心的是什么在连续形变下保持不变，像我们刚才说的可定向性以及孔洞数（或者说亏格）都属于拓扑学研究的范畴，当然还包括连通性、紧致性以及扭结方式等其他的性质。这样在提到拓扑的时候，我们就有了相对具象的认知，不同于几何关心距离和曲率等度量，拓扑关心形状的整体属性。虽然拓扑学发展于几何学，但现在拓扑学已发展成为一门独立的的学科并且已经渗透到各个学科分支中。

那么回到宇宙学，回到我们开头提到的大多数人内心的疑问，宇宙是不是无限的或者在各个方向都是无限的么？要回答这个问题，我们就需要知道宇宙整体的性质，那么我们就要研究宇宙的拓扑结构，看看宇宙有哪些拓扑性质。通常我们在描述宇宙的整体，推断宇宙是有限还是无限时，我们只是从它的几何曲率来考量，比如我们常说的，如果宇宙的几何曲率是正的，则宇宙整体是一个有限的三维球面（S³）；如果宇宙的几何曲率是负的，则宇宙整体是一个无限的双曲空间（H³）；如果宇宙的几何曲率为零，则宇宙整体是一个无限的平直欧几里德空间（E³）。也就是说我们仅仅通过曲率便推断出了宇宙是有限还是无限的，但实际上这个逻辑是不那么正确的，这相当于用局部的几何曲率量来推断宇宙的整体拓扑。通过前面对几何和拓扑的区别的简单介绍我们知道，几何量是描述空间的局部特征，对空间的整体或全局的描述需要考虑它的拓扑结构。对于局部相同的几何，它的整体的拓扑结构却并不一定相同，而局部不同的几何，整体上也可能是拓扑等价的。我们可以用一个二维的例子来简单做个说明，拿一张纸并将其卷成圆柱面，圆柱面的局部依旧是平坦零曲率的，但在整体上它和无限的平面是不同的拓扑，在圆柱面上沿某个方向走一圈会回到原点，它在这个方向上就不再是无限的，或者说有周期性结构。那么对宇宙而言，也可能是平坦但有限的，这要取决于宇宙的拓扑结构。

通常我们把最简单的结构，即简单连通，没有空洞、没有周期性结构的拓扑称为平凡的拓扑结构，其它的我们都称为非平凡的拓扑。我们可以在拓扑空间中选取任意的一个闭合环路，如果存在环路是无法在连续形变下收缩为一点的，我们称为不可收缩的闭环，比如在含有孔洞的拓扑空间中，选取绕着孔洞一周的闭环，则这个闭环无论如何也无法收缩为一点。不可收缩的闭环就是具有非平凡拓扑结构的标志。

对三维欧几里德空间E³来说，它有18（E1-E18）种不同的拓扑结构，它们可以看作是将三维欧氏空间（E³）通过周期性边界条件或对称粘合得到的宇宙模型或拓扑球面。对三维球面空间S³来说,它有5类不同的拓扑结构，且每一类都包含可数无穷多个成员，而对双曲空间H³来说，它的拓扑结构更复杂，包含可数无穷多种拓扑结构。我们拿宇宙的几何曲率为零的情况来说，宇宙未必就是具有平凡拓扑的无限延伸的欧几里德空间，依然可以有不同的拓扑结构，如果宇宙的整体拓扑等价于三维环面，则宇宙就不是无限的，你只要向宇宙的一边飞行的足够远就会从宇宙的另一边飞回来。

图3：CMB中的匹配圆圈对，以立方3-环面（E1）的拓扑结构为例说明了CMB中留下的匹配圆对的印记[1]。

目前还无法从任何第一性原理得到宇宙的拓扑应该是什么。在量子引力背景下，宇宙极有可能最初就具有一种非平凡的拓扑结构。要探究宇宙的拓扑，我们必须从观测上来实现。标准宇宙学模型通常假设了宇宙的拓扑是平凡的，但如果宇宙具有非平凡的拓扑结构，即存在不可收缩的闭环，它将会在我们的观测中留下独特的印记。在这样的宇宙中，从观察者自身出发到位于任何其他位置的物体，会存在多条直线路径。每一条路径都会产生一个物体的像，把除最短路径之外的其他路径的像称为克隆体，则这些克隆体可能会在宇宙中形成某些特征。如果拓扑尺度足够小，这些特征就是可观测的。

宇宙学中最典型的观测就是我们熟知的宇宙微波背景辐射（CMB）的涨落，非平凡的拓扑结构会在CMB涨落中留下可观测的印记，因此CMB可以用来作为宇宙拓扑的探针。首先，非平凡拓扑可能会在CMB的温度涨落中产生匹配圆对。具体来说，对于各向同性的度规，无论宇宙的拓扑的具体结构如何，对每个观察者而言，CMB光子都被视为从以他们自身为中心的薄球壳（即CMB光子的最后散射面）发射出来。在宇宙的任何时刻，该最后散射面的直径都与观察者的位置无关。考虑观察者最近的克隆体，每当观察者到该克隆体的距离小于最后散射面的直径时，观察者及其克隆体的最后散射面就会在一个圆上相交。观察者及其克隆体都能看到该圆，但在各自的天空中所处方向不同，从而导致在天空中观测到一对圆。由于观察者及其克隆体是同一个人，且进行了相同的测量，因此他们能够比较该对圆周围的温度涨落模式。只要到观测者最近克隆体的距离接近于最后散射面直径的近似值，所有此类匹配圆对原则上都应该能被探测到。图3以立方3-环面（E1）的拓扑结构（即立方体对边粘合形成的三维环面）为例对此进行了示意。这使得我们能够探测到非平凡的拓扑结构并重建宇宙的拓扑。此外，非平凡的拓扑结构，拓扑的边界条件存在旋转粘贴等，空间在某些特定方向上的关联性会增强，这也会在大尺度上打破宇宙的统计各向同性（甚至均匀性），这将会对CMB温度涨落的球谐展开系数的关联矩阵或者说角功率谱产生影响。在均匀各项同性的宇宙中，由于这些球谐系数是独立的高斯随机变量，因此他们的关联矩阵是对角的。如果打破了均匀各项同性，将会产生非对角的矩阵元。当然还不仅如此，其他的某些CMB反常现象或许也能从非平凡的拓扑宇宙中找到答案。

目前的CMB探测中，我们还未在统计学上发现非平凡拓扑结构存在的显著证据。未来的CMB观测如果在偏振和张量模式上取得突破将会进一步帮助我们去探寻宇宙的拓扑。包括未来三维场和星系的巡天也将使我们获得更多的模式，或许也能帮助我们获取更多的与宇宙拓扑相关的信息。目前为止，我们还无法得知我们究竟有多大的能力可以探测到宇宙的拓扑，也无法保证宇宙的拓扑结构一定能被探测到。如果我们的宇宙，与最后散射面的直径相比大得惊人的话，我们似乎很难有机会了解宇宙的拓扑结构。

但也许我们足够幸运，能在未来的观测中找到宇宙的拓扑结构的证据。发现宇宙的拓扑将会具有极其重要的意义。

参考文献

[1]Copi,C.J., et al., 2026, arXiv:2606.24886.

作者简介

苗海涛，国家天文台助理研究员，主要研究方向为大尺度结构宇宙学。

来源：中国科学院国家天文台

编辑：子木

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