评估相干DSB-SC解调器的噪声性能

在更早关于调制与解调的系列文章中，我们讨论了基本原理、带宽要求以及电路级实现。当前这一系列从《理解通信系统中窄带噪声的特性》开始，在存在信道噪声的条件下继续考察这些系统的表现。我们还将讨论这些因素如何影响关键设计参数，包括最小所需发射功率。到本系列结束时可以看到，不同调制方法在抗噪声能力上并不相同。

本文考察依赖相干（或同步）检测技术的双边带抑制载波（DSB-SC）通信的噪声性能。先从与噪声分析相关的模拟通信系统基本性质说起。

模拟通信系统的一般模型

图 1 给出模拟通信系统的一般模型。该模型适用于 AM 与 FM 方案中的噪声分析。

图 1. 用于噪声分析的连续波（CW）通信系统一般化模型

上图中，m(t) 表示待传送的消息信号。发射机输出端的已调载波 x(t) 送入通信信道。除传输损耗 L 外，信道近似理想，引入的失真与时延可忽略。

接收机中的检测器模块完成解调。其结构随调制方案以及为该方案选定的具体解调技术而变化。

当信道引入失真时，接收机必须采用具有适当响应的带通滤波器做均衡。均衡滤波器须放在检测器之前，因为解调往往是非线性的。明显的例外是 AM 同步检测，它按线性方式工作，允许在基带做均衡。

尽管假定信道无失真，它仍受噪声扰动。图 1 中 n_w(t) 表示信道噪声，建模为零均值加性白高斯噪声，双边功率谱密度（PSD）为 N0/2 W/Hz。

信道输出信号 s(t) 与 n_w(t) 直接相加，所得复合信号再由接收机处理。

接收机前端的带通滤波器有时称为载波滤波器。假定该滤波器具有单位增益的矩形响应，带宽等于已调波的传输带宽 B_T。

为简化起见，用该带通滤波器代表整个预检测链路，涵盖接收机内的 RF 与 IF 放大及滤波级。检测前的频率搬移与增益在本模型中忽略，因为它们对信号与噪声的影响相同。

注意 n_w(t) 也可计入接收机预检测部件（包括 RF 放大器及后续 IF 级）产生的热噪声。该内部噪声在信号带宽内同样建模为加性白噪声。计入预检测级噪声时，IF 级与混频器的噪声贡献通常是次要的。前端 RF 放大器提供足够增益，使后续噪声源在总体噪声剖面中可忽略。

如何评估噪声性能？

为评估调制方案的噪声性能，将所有重要噪声源建模为接收机输入处的加性白噪声。关注点集中在图 1 框图的接收机部分。例如，图 2 给出用于相干 DSB-SC 解调器的模型。

图 2. 用于相干 AM 检测的 DSB-SC 接收机模型

该图中，s(t) 为输入信号，是载频为 f_c、传输带宽为 B_T 的 DSB-SC AM 波。

评估噪声性能从建立系统各部件的数学模型开始。在相干检测中，模型由一系列滤波与乘法运算组成。该模型使我们能够跟踪输入信号与噪声在解调器各级传播时如何演变。

预检测 SNR

下面确定相干解调器输入处的信噪比（SNR）。该参数也称为预检测 SNR。

带通滤波器中心频率为 f_c，带宽为消息带宽的两倍（2W）。这使其能无失真地通过输入 AM 波。因此，送入检测器的含噪信号为：

式 1

其中 n(t) 为滤波器输出处的噪声过程。

已调信号与噪声加性合成。因此，输入 SNR 可表示为已调波形 s(t) 的平均功率与滤波后噪声 n(t) 平均功率之比。若 s(t) 的功率为 P_s,in、输入噪声功率为 P_n,in，则预检测 SNR 为：

式 2

已调载波的功率是多少？

先计算输入信号功率。双边带抑制载波波可表示为：

式 3

它由消息信号 m(t) 与载波 A_c cos(ω_c t) 直接相乘得到。

s(t) 的平均功率按如下计算：

式 4

若 s(t) 为周期信号，在一个周期上积分即可。但实际中 s(t) 通常不是周期的，因此测量须在较长时间上进行。

注意式 4 实际上表示送到 1 Ω 电阻上的平均功率，因此有时称为归一化功率。

利用基本三角恒等式，可将 s²(t) 中余弦函数的平方展开如下：

式 5

上式中 m²(t) 上方的横线表示其时间平均。

你可能疑惑：含 cos(2ω_c t) 的项的时间平均为何为零。直观上，m²(t) 是缓慢变化的基带信号，而 cos(2ω_c t) 是快速振荡载波，二者乘积对称地在零附近起伏，因而随时间平均为零。更形式地说，因两函数不相关，其乘积的时间平均等于各自时间平均的乘积。由于 cos(2ω_c t) 的平均为零，整个项 m²(t)cos(2ω_c t) 不贡献净功率。

为记法方便，将 m²(t) 的时间平均记为 P_m。于是平均输入信号功率为：

式 6

确定输入噪声功率

解调器前端的带通滤波器设计为恰好有足够带宽，使已调信号无失真通过。在 DSB-SC 系统中，滤波器中频与载波对齐。图 3 给出带通滤波器输出处的噪声 PSD。

图 3. 带通滤波器输出处的噪声 PSD

解调器输入处的平均噪声功率等于 PSD 曲线下的面积。对上图所示的具体 PSD，可表示为：

式 7

由式 6 与式 7，输入 SNR 为：

式 8

输出 SNR

要确定输出 SNR，需要了解信号与噪声如何被解调器变换。如先前文章所讨论，带通滤波器输出处的窄带噪声可表示为：

式 9

其中 n_I(t) 为同相噪声分量，n_Q(t) 为正交噪声分量。两个噪声分量均相对于载波 A_c cos(ω_c t) 计量。

因此，带通滤波器输出处出现的含噪信号可写为：

式 10

相干检测器用 cos(ω_c t) 乘以上式信号，得到：

式 11

利用基本三角恒等式，可化简为：

式 12

乘法器之后的低通滤波器消除 2ω_c 处的二倍频项，只留下基带分量：

式 13

比较式 10 与式 13 可见，理想同步检测器只是提取输入信号的同相分量。还应注意输出信号与噪声是加性的。由式 13，输出信号分量的功率为：

式 14

其中第二个等式来自式 6。

如先前文章所讨论，若检测器输入处带通噪声功率为 P_n,in，则其同相与正交分量各自的功率也为 P_n,in。因此，由式 13，v_out(t) 中噪声分量的功率为：

式 15

利用式 7，得到：

式 16

再由输出信号功率与噪声功率，输出 SNR 为：

式 17

增大发射信号功率、收窄消息带宽或降低接收机噪声，都可改善输出 SNR。比较式 8 与式 17 可见，输出 SNR 是输入 SNR 的两倍。DSB-SC 相干检测器在其输入与输出之间提供 3 dB 的 SNR 改善。

例题：确定单音调制 DSB-SC 波的载波功率

考虑消息信号为 m(t)=cos(2π×15000×t) 的单音调制 DSB-SC 波。此时平均消息功率为 0.5，消息带宽 W=15 kHz。

若影响系统的噪声双边 PSD 为 N0/2=10⁻¹⁴ W/Hz，要在相干解调器输出达到 40 dB 的 SNR，应使用多大的载波功率？

解：

40 dB 的 SNR 对应数值 10⁴。将题给数据代入输出 SNR 表达式（式 17）得：

式 18。

所需载波功率由 A_c²/2 给出，计算结果为 6 μW。

小结

本文推导了 DSB-SC 相干检测器输出 SNR 的表达式，并指出影响噪声性能的参数。分析表明，DSB-SC 相干检测器在解调器输入与输出之间提供 3 dB 改善。本文侧重数学推导；下一篇文章将用图形方式展示 DSB-SC 相干检测下信号功率与噪声功率如何变化。