窥一斑而知全豹：线性增长位势薛定谔方程的可观测性

黄山林，汪更生，王明

可观测性是指通过局部观测推断系统整体状态的可能性，这是偏微分方程控制理论中的重要课题。我们先前的研究表明，对于具有二次及以上增长势函数的薛定谔方程，E是能观测集当且仅当它是弱厚集。本文证明，当势函数呈线性增长时，半直线作为一类特殊的弱厚集，并不能成为能观测集。这一结论揭示了量子系统可观测性对势函数增长速率的敏感性。

能否仅通过观察池塘一角的水波，便推知整片水面最初是如何被扰动的？薛定谔方程的可观测性问题，正是这样一个“窥一斑而知全豹”的课题。

薛定谔方程作为量子力学的基石，描述了系统状态随时间的演化。想象一个遍布整个空间的波函数，如同弥漫于池塘每一处的水波。可观测性问的是：若在一段时间内，仅对空间中的某个局部区域（而非全域）进行测量，能否据此唯一确定波函数在初始时刻的整体状态？若能，便称该区域为一个“能观测集”。

图1：薛定谔方程

在我们的前一工作[2]中，得到了以下观测集刻画：

自由粒子：

E是能观测集当且仅当E是厚集，即E在每个固定长度的区间上具有一致正测度下界。

调和振荡子：

当观测时间足够长时，E是能观测集当且仅当E是弱厚集，即对充分大的x，在

中具有正密度。若

，则任意短的观测时间可得相同结论。

Prouff在[4]中评论此结果为“very strong result”。他在该文中利用动力系统方法研究了位势

增长阶为

时能观测集的条件。我们希望给出此类位势能观测集的直接几何刻画。为简单起见，本文仅考虑情形

。我们发表在Science China Mathematics的文章[3]主要证明了以下结果。

定理1.若E的补集是

-稀疏的

，则在任意短时间内E是能观测集。

此定理给出了一个充分条件：如果观测区域E的补集（即我们看不到的区域）在无穷远处足够稀疏，那么E是能观测集，而且观测时间可以任意短。直观上，这意味着观测集在无穷远处覆盖了绝大部分区域。同时，还给出了观测常数（它衡量了观测的成本）与观测时间T之间的显式关系。

定理2. 若E是能观测集，那么E必定是弱厚集。并且当

是半直线时，它不是能观测集。

此定理给出了能观测集的必要条件：观测集必在充分大的区间

上具有正密度。同时，半直线

虽然是弱厚集，却永远无法成为能观测集。也就是说，无论给多长的观测时间，都无法仅通过观察右半直线来唯一确定整个量子系统的初始状态。故此时的能观测集与位势函数为

情形有本质不同。

为什么会有这样的差异？深层原因在于势函数影响了薛定谔算子的特征值分布。对于线性势

，特征值间隔随着能量增加而趋于零，这导致了不同特征函数之间的强烈干涉，使得半直线上的观测信息无法区分不同的初始状态。

为了证明这些结论，我们发展了一套新的数学工具：（1）建立了一种与Airy函数相关的变系数Ingham型谱不等式，它允许我们在观测区域上控制本征函数的线性组合，这是证明定理1的关键；（2）借鉴了Bourgain等人[1]的思想，将高频和低频估计巧妙地“粘合”在一起，从而得到了任意短时间内的可观测性；（3）为了证明半直线不可观测，我们构造了一个Toeplitz矩阵，并利用Szegö极限定理证明了其最小特征值趋于零，这相当于证明了观测矩阵的退化，从而半直线无法区分不同的初始状态。

另外，汪更生、王明与合作者在文献[5]中证明，对于任意维热方程，E是能观测集当且仅当它为厚集。然而对于薛定谔方程，目前仅知类似结论在一维情形成立[2]，能否推广到高维仍是一个公开问题。

【参考文献】

[1] Bourgain J, Burq N, Zworski M. Control for Schrödinger operators on 2-tori: rough potentials. J Eur Math Soc, 2013, 15: 1597–1628

[2] Huang S, Wang G, Wang M. Observable sets, potentials and Schrödinger equations. Comm Math Phys, 2022, 395: 1297-1343

[3] Huang S, Wang G, Wang M. Quantitative observability for the Schrödinger equation with anharmonic oscillator. Sci China Math, 2026, 69, https://doi.org/10.1007/s11425-025-2476-7

[4] Prouff A. Observability of the Schrödinger equation with subquadratic confining potential in the Euclidean space. Analysis & PDE, 2025, 18: 1147-1229

[5] Wang G, Wang M, Zhang C, Zhang Y. Observable set, observability, interpolation inequality and spectral inequality for the heat equation in R^n. J Math Pures Appl, 2019, 126: 144-194