选择权重的算法，使平均位置接近目标位置

Question

我有一个系统，在空间中的固定位置有少量粒子(4-10个)。然后我有了一个单一的目标位置。我希望为每个粒子分配权重，以便粒子位置的加权平均值尽可能接近目标。在可能有多种解决方案的情况下，需要一致地分配权重。例如，如果我在1,0,0和-1,0,0和0,0,0处有3个粒子，而我的目标是0,0,0，则有三种可能的解决方案，即权重为0.333,0.333,0.333或0,0,1或0.5,0.5,0。第二个选项似乎最直观，但实际上，选择哪个解决方案并不重要，只要选择一致即可。此外，我最感兴趣的情况是不可能有精确的解决方案，但选择的权重最小化了误差。计算这些权重的最有效算法是什么？

编辑:为了更清楚地说明这一点，我创建了一个2d案例的视觉效果。在本例中，有5个固定位置和1个目标位置。目前，我使用的是一种笨拙的天真方法，即从所有5个权重的平均值(权重= 0.2,0.2,0.2,0.2,0.2)开始，然后迭代地调整这些权重，看看它是否有助于解决方案，逐渐“走”向目标。这可能需要数百个步骤。我需要对数百万甚至数十亿个目标位置进行处理，因此我正在寻找一种更直接的分析方法来解决问题。

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Answer 1

可以为问题建立简单的线性方程(显示3D情况)：

sum(xi * wi) = xt
sum(yi * wi) = yt
sum(zi * wi) = zt

您没有提到它，但似乎还有一个约束，即权重总和为1。在这种情况下，只需添加另一个等式：

sum(wi) = 1

如果有N个点，我们现在就有一个由3个(或4个)方程组成的系统，其中包含N个未知数( wi)。从线性代数的角度来看，如何求解这样的系统是众所周知的。可能有0、1或无限多个解决方案。

如果没有解决方案，则可以改为求解目标点到子空间(可能是平面、直线或点)上的法线投影。

如果您还希望权重大于或等于0，那么它会变得更有趣。我的感觉是，如果目标点在给定点的凸包中，那么精确的解决方案总是可能的。