在逐次超松弛速率法中ω的意义是什么？

Question

我有以下矩阵

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我已经将其转化为严格占优矩阵，并应用了具有omega=1.1和容差ε=1e-4的高斯-西德尔和逐次超松弛速率方法，其收敛公式如下

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通过使用python手动解决这个问题(而不是使用线性代数库)，我发现两种方法都需要相同的迭代次数(6)，但根据我的理解，如果矩阵在高斯-西德尔和1

那么，我的理解是正确的吗？SOR方法需要更少的迭代次数吗？

Answer 1

这实际上是我在试图解决同样的问题时遇到的一个问题。在这里，我将包括来自GS和SOR方法的第6次迭代的结果，并将分析我对为什么会出现这种情况的看法。对于初始向量x= (0,0,0,0)。实际上，我们看到每种方法的L无穷范数都是不同的(见下文)。

对于Gauss-Seidel：

The solution vector in iteration 6 is: 
[[ 1.0001]
[ 2.    ]
[-1.    ]
[ 1.    ]]
The L infinity norm in iteration 6 is: [4.1458e-05]

对于SOR：

The solution vector in iteration 6 is: 
[[ 1.0002]
[ 2.0001]
[-1.0001]
[ 1.    ]]
The L infinity norm in iteration 6 is: [7.8879e-05]

从学术上讲，"SOR可以提供一种方便的方法来加速求解线性方程组的Jacobian方法和Gauss-Seidel方法。参数ω被称为松弛参数。显然，对于ω=1，我们恢复了原始方程。如果ω<1，我们谈到欠松弛，这对于一些在正常雅可比松弛下不收敛的系统可能很重要。如果ω> 1，我们会有过度松弛，这将是我们更关心的。在多年的手工计算中发现，如果我们超越高斯-赛德尔校正，收敛速度会更快。粗略地说，这些近似保持在解x的同一侧。超松弛因子ω使我们更接近解。当ω= 1时，我们恢复高斯-赛德尔；当ω>1时，该方法称为SOR。ω的最佳选择永远不会超过2，它通常在1.9附近。

有关ω的更多信息，您还可以参考Strang，G.，2006年“线性代数及其应用”一书的第410页以及论文A rapid finite difference algorithm, utilizing successive over‐relaxation to solve the Poisson–Boltzmann equation。

基于上面的学术描述，我认为这两种方法都有6次迭代，因为1.1不是最优的ω值。将ω更改为更接近的值

可以产生更好的结果，因为超松弛的全部要点是发现这个最优的ω。(我再次相信，这个1.1不是最优的omega，一旦我进行计算，它就会更新你)。图片来自Strang，G.，2006“线性代数及其应用”，第4版，第411页。

编辑:实际上，通过在SOR中运行omega迭代的图形表示，我的最优omega似乎在1.0300到1.0440的范围内，这些omega的整个范围给了我五次迭代，这是一种比omega=1的纯Gauss-Seidel更有效的方式，它提供了6次迭代。

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