一个非线性方程的根问题

Question

我有一个双曲线函数，我需要找到它的0。我尝试过各种经典方法(二分法、牛顿法等)。

二阶导数是连续的，但不能解析，所以我必须排除使用它们的方法。

对于我的应用来说，牛顿方法是唯一一种提供足够速度的方法，但如果我不够接近实际的零，它就会相对不稳定。下面是一个简单的屏幕截图：

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零点在0.05左右。由于函数在0处发散，如果我取一个大于某一范围的最小位置的初始猜测值，那么我显然对渐近线有问题。

在这种情况下，有没有更稳定的方法，最终可以提供与牛顿相当的速度？

我也想过把函数变换成一个等价的更好的函数，用同样的零点，然后再应用牛顿，但我真的不知道我能做哪些变换。

任何帮助都将不胜感激。

Answer 1

对于你的情况，@sams-studio的答案可能会起作用，我会先试一试。在类似的情况下-也是在多变量背景下-我使用了牛顿同伦方法。

基本上，您限制牛顿步长，直到y的绝对值下降。最便宜的实现方式是，如果y从上一步增加，则牛顿步长减半。几步之后，你又回到了牛顿，完全二阶收敛。

如果你可以绑定你的解决方案(你知道一个最大的x)，@Lutz Lehmann的答案也将是我的第一选择。

Answer 2

用log( x )代替x怎么样？

Answer 3

德克或布伦特的方法应该几乎和牛顿一样快。如果您希望自己实现一些简单的东西，那么regula-falsi方法的Illinois变体也是相当快的。这些都是括号方法，因此如果初始间隔在域内，则不应离开域。

def illinois(f,a,b,tol=1e-8):
    '''regula falsi resp. false postion method with
        the Illinois anti-stalling variation'''
    fa = f(a)
    fb = f(b)
    if abs(fa)<abs(fb): a,fa,b,fb = b,fb,a,fa
    while(np.abs(b-a)>tol):
        c = (a*fb-b*fa)/(fb-fa)
        fc = f(c)
        if fa*fc < 0:
            fa *= 0.5
        else:
            a, fa = b, fb
        b, fb = c, fc
    return b, fb