scipy linprog simplex的麻烦

Question

我正在尝试解决一个零和博弈，找到玩家I的最优概率分布。为此，我使用了scipy linprog单纯形法。

我看过一个例子，我需要改变这个游戏：

G=np.array([
[ 0  2 -3  0]
[-2  0  0  3]
[ 3  0  0 -4]
[ 0 -3  4  0]])

进入这个线性优化问题：

Maximize           z
Subject to:               2*x2 - 3*x3        + z <= 0
                  -2*x1 +             + 3*x4 + z <= 0
                   3*x1 +             - 4*x4 + z <= 0
                        - 3*x2 + 4*x3        + z <= 0
with              x1 + x2 + x3 + x4 = 1

下面是我的实际代码：

def simplex(G):
    (n,m) = np.shape(G)

    A_ub = np.transpose(G)
    # we add an artificial variable to maximize, present in all inequalities
    A_ub = np.append(A_ub, np.ones((m,1)), axis = 1)
    # all inequalities should be inferior to 0
    b_ub = np.zeros(m)

    # the sum of all variables except the artificial one should be equal to one
    A_eq = np.ones((1,n+1))
    A_eq[0][n] = 0
    b_eq = np.ones(1)

    c = np.zeros(n + 1)
    # -1 to maximize the artificial variable we're going to add
    c[n] = -1

    res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=(0,None))

    return (res.x[:-1], res.fun)

下面是我得到的分布：[5.87042987e-01 1.77606350e-10 2.79082859e-10 4.12957014e-01]，它的总和是1，但我希望是[0 0.6 0.4 0]

我正在尝试一个更大的游戏，有6到7行(以及变量)，它的总和甚至不到1。我做错了什么？

感谢您能提供的任何帮助。

Answer 1

自从我找到解决方案后，我就没有更新过这篇文章。我建议不要使用Scipy linprog函数，如果你不太了解线性编程，它的文档很糟糕，而且我发现它在很多例子中都是不精确和不一致的(我当时确实尝试添加了一个负号，正如oyamad所建议的那样)。

我切换到PuLP python库，从一开始就没有问题。

Answer 2

(我假设玩家1(行玩家)是最大化的，玩家2(列玩家)是最小化的。)

在这个博弈的纳什均衡中，玩家1的策略是任何有4/7 <= x2 <= 3/5，x2 + x3 = 1的[0, x2, x3, 0]。

在您的代码中，不等式约束-G.T x + z <= 0缺少一个负号。尝试以下代码：

def simplex(G, method='simplex'):
    (n,m) = np.shape(G)

    A_ub = -np.transpose(G)  # negative sign added
    # we add an artificial variable to maximize, present in all inequalities
    A_ub = np.append(A_ub, np.ones((m,1)), axis = 1)
    # all inequalities should be inferior to 0
    b_ub = np.zeros(m)

    # the sum of all variables except the artificial one should be equal to one
    A_eq = np.ones((1,n+1))
    A_eq[0][n] = 0
    b_eq = np.ones(1)

    c = np.zeros(n + 1)
    # -1 to maximize the artificial variable we're going to add
    c[n] = -1

    res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=(0,None),
                  method=method)  # `method` option added

    return (res.x[:-1], res.fun)

使用单纯型方法：

simplex(G, method='simplex')

(array([0.        , 0.57142857, 0.42857143, 0.        ]), 0.0)
# 4/7 = 0.5714285...

使用内点方法：

simplex(G, method='interior-point')

(array([1.77606350e-10, 5.87042987e-01, 4.12957014e-01, 2.79082859e-10]),
 -9.369597151936987e-10)
# 4/7 < 5.87042987e-01 < 3/5

使用修改后的单纯形法：

simplex(G, method='revised simplex')

(array([0. , 0.6, 0.4, 0. ]), 0.0)
# 3/5 = 0.6

(使用SciPy v1.3.0运行)