K组中唯一元素产生的无序对数公式，不包括同一组k中的元素对

Question

我不知道如何解决以下问题，因为组合学不是我的强项:我有许多组k，每个组至少有一个元素。所有的元素都是不同的。我想知道所有组中所有元素的无序对(即大小为2)的总数。但我不想在这个数字中包括那些由属于同一组k的元素组合而产生的对，我正在寻找正确的术语来描述和正确的公式来解决这类问题。下面的两个例子说明了问题和期望的结果。您的帮助是指定的！

例如，族1由元素a和b，元素c的族2，元素d的族3组成。所需的无序对是：(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)。因此，有5对。被排除的对是对(a，b)，因为这两个元素属于同一组。

另一个例子:组1包括a，b；组2包括c，d。所需的对是：(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)。对的总数是4。对(a，b)和(c，d)被排除在外，因为各自的元素属于同一组。

谢谢!

Answer 1

你有群G(1) ..G(K)，其中G(k)有N(k)个元素，所以你有

M = N(1) + .. + N(K) 

元素，并且可以形成

(M*(M-1))/2 

2个元素子集。但这包括那些你不想要的，它们具有来自同一组的元素。确实有

(N(k)*(N(k)-1))/2 

这样的子集来自组k。所以你想要的子集的数量是

(M*(M-1))/2 - Sum{ k | (N(k)*(N(k)-1))/2}