如何求圆与矩形相交的区间

Question

我需要在圆弧上进行积分，这些圆弧是由一个圆和一个矩形的交点产生的，并落在这个矩形内。我可以使用shapely包找到交叉点。但是，我不知道如何获得积分间隔。例如，在下图中，我的代码以弧度(相对于圆的中心)返回[-2.1562, 2.1562]，而它应该能够自动理解矩形内的积分间隔是[[2.1562, 3.1415],[-3.1415, -2.1562]] (假设pi = 3.1415)。

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下面是另一个示例：

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我的代码返回[-0.45036, -0.29576, 0.29576, 0.45036]，预期的间隔将为[[0.29576, 0.45036], [-0.45036, -0.29576]]。

该代码也应该适用于圆所在的任何其他位置(具有任何半径)，无论其中心是在矩形的外部还是内部。

以下是我的代码，使用iPython编写：

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np
from shapely.geometry import LineString, MultiPoint
from shapely.geometry import Polygon
from shapely.geometry import Point

# Utilities
def cart2pol(xy, center):
    x,y = xy
    x_0,y_0 = center
    rho = np.sqrt((x-x_0)**2 + (y-y_0)**2)
    phi = np.arctan2(y-y_0, x-x_0)
    return(rho, phi)

def pol2cart(rho, phi, center):
    x_0,y_0 = center 
    x = rho * np.cos(phi)+x_0
    y = rho * np.sin(phi)+y_0
    return(x, y)

def distance(A,B):
  return math.sqrt((A[0]-B[0])**2+(A[1]-B[1])**2)

#######################  
rad = 6
center = (-1,5)
p = Point(center)
c = p.buffer(rad).boundary
A = (10,0)
B = (0,0)
C = (0,10)
D = (10,10)

coords = [Point(A), Point(B), Point(C), Point(D)]
poly = MultiPoint(coords).convex_hull

i=c.intersection(poly)

lines = [LineString([A, D]), LineString([D, C]),
         LineString([C, B]), LineString([B, A])]

points = []
for l in lines:
  i = c.intersection(l) 
  if not i.is_empty:
    if i.geom_type == 'MultiPoint':
      for j in range(len(i.geoms)):
        points.append(i.geoms[j].coords[0])
    else:
      points.append(i.coords[0])

# Repeat the tangential points
for k, point in enumerate(points.copy()):
  if abs(distance(center, point)**2 + distance(point, B)**2 - distance(B, center)**2) < 1e-4:
    points.insert(k+1,point)
  elif abs(distance(center, point)**2 + distance(point, D)**2 -distance(D, center)**2) < 1e-4:
    points.insert(k+1,point)

# Sort points in polar coordinates
phis = [cart2pol(point,center)[1] for point in points]
phis.sort()
print(phis)

# Plot the shapes
x,y = c.xy
plt.plot(*c.xy)
for l in lines:
  plt.plot(*l.xy, 'b')
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')

我尝试根据交叉点的角度对交叉点进行排序，使交叉点列表中的每两个相邻项都对应于一条圆弧。问题是，当沿着单位圆旋转时，从-pi到pi的角度会有一个跳跃。另外，我不知道如何在给定两个端点的情况下确定弧线是否在矩形内。

Answer 1

处理角度范围并不简单。

1)选择一个明确的表示范围，如[-π，π]弧度。

2)编写一个函数，查找圆与(h/v)半平面的交点，并返回一个角度间隔。如果间隔跨越±π边界，则将其一分为二。

3)编写一个函数来查找两个间隔列表之间的交集(这是一个改进的合并问题)。

4)处理四条边，并与得到的区间相交。

5)可能合并跨越±π边界的区间。

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