在曲线的起始点和结束点计算曲率的数值，尖锐的不正确的跳跃？

Question

我正在尝试使用Numpy计算曲率值，在大多数情况下，使用标准数学似乎工作得很好。然而，我似乎遇到了一个问题，我的曲线末端的曲率计算不正确。下面是我想说的一个例子：

曲线：

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计算出的曲率：

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正如你所看到的，在曲率图的开始和结束处有两个非常急剧的过渡，尽管曲线本身在曲率上没有任何这样的急剧变化。有人知道为什么会发生这种情况吗？我已经在多条其他曲线上测试了我的代码，并在结束时看到了类似的行为。

下面是我的代码，我用它来计算x和y点的两个numpy数组的曲率：

# Calculate first derivative of spline
dx = np.gradient(spline_x)
dy = np.gradient(spline_y)

# Calculate the second derivative of spline
d2x = np.gradient(dx)
d2y = np.gradient(dy)

# Calculate curvature
spline_curvature = (dx * d2y - d2x * dy) / ((dx * dx + dy * dy) ** 1.5)

Answer 1

您总是可以预期到这种工件。

如果使用相邻矢量之间的差计算沿矢量的梯度，则估计每个区间中的梯度，并且结果必须比原始矢量少一个值：

>>> v = np.array([2,1,3,3,4,5,3,4], dtype=float)
>>> len(v)
8
>>> g = np.diff(v)
>>> g
array([-1.,  2.,  0.,  1.,  1., -2.,  1.])
>>> len(g)
7

Numpy使用更好的近似值估计每个点的gradient，并考虑每个值的邻居：

>>> (v[2:] - v[:-2])/2
array([ 0.5,  1. ,  0.5,  1. , -0.5, -0.5])
>>> g = np.gradient(v)
>>> g
array([-1. ,  0.5,  1. ,  0.5,  1. , -0.5, -0.5,  1. ])
>>> len(g)
8

但是，正如您所看到的，梯度具有与原始向量相同的元素数量，因此第一个和最后一个值不能以相同的方式计算。事实上，它们与前一种(diff)方法的第一个和最后一个值一致。但这些不是对点数的估计，而是对区间的估计。

因此，每次使用gradient时，都应该丢弃第一个和最后一个元素，以避免此类边界工件。