x**2函数的随机梯度下降与梯度下降

Question

我想通过一个最简单的函数示例：y=x**2来理解SGD和GD之间的区别。

GD的功能如下：

def gradient_descent(
    gradient, start, learn_rate, n_iter=50, tolerance=1e-06
):
    vector = start
    for _ in range(n_iter):
        diff = -learn_rate * gradient(vector)
        if np.all(np.abs(diff) <= tolerance):
            break
        vector += diff
    return vector

为了找到x**2函数的最小值，我们接下来应该做(答案几乎是0，这是正确的)：

gradient_descent(gradient=lambda v: 2 * x, start=10.0, learn_rate=0.2)

我如何理解，在经典的GD中，梯度是从所有数据点精确计算出来的。我在上面展示的实现中的“所有数据点”是什么？

此外，我们应该如何将该函数现代化，以便将其命名为SGD (SGD使用单个数据点来计算梯度。( gradient_descent函数中的“单点”在哪里？)

Answer 1

在您的示例中最小化的函数不依赖于任何数据，因此说明GD和SGD之间的区别没有任何帮助。

考虑这个例子：

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7263)

y = rng.normal(loc=10, scale=4, size=100)


def loss(y, mean):
    return 0.5 * ((y-mean)**2).sum()


def gradient(y, mean):
    return (mean - y).sum()


def mean_gd(y, learning_rate=0.005, n_iter=15, start=0):
    """Estimate the mean of y using gradient descent"""

    mean = start

    for i in range(n_iter):

        mean -= learning_rate * gradient(y, mean)

        print(f'Iter {i} mean {mean:0.2f} loss {loss(y, mean):0.2f}')

    return mean


def mean_sgd(y, learning_rate=0.005, n_iter=15, start=0):
    """Estimate the mean of y using stochastic gradient descent"""

    mean = start

    for i in range(n_iter):

        rng.shuffle(y)
        for single_point in y:
            mean -= learning_rate * gradient(single_point, mean)

        print(f'Iter {i} mean {mean:0.2f} loss {loss(y, mean):0.2f}')

    return mean


mean_gd(y)
mean_sgd(y)
y.mean()

使用GD和SGD的两个(非常简单的)版本来估计随机样本y的均值。估计平均值是通过最小化平方loss来实现的。正如你所理解的那样，在GD中，每次更新都使用在整个数据集上计算的梯度，而在SGD中，我们一次只看一个随机点。