Coq/SSreflect中的有序序号

Question

我目前正在使用Coq中的红黑树，并希望为nat列表配备一个订单，以便可以使用MSetRBT模块将它们存储在红黑树中。

因此，我定义了seq_lt，如下所示：

Fixpoint seq_lt (p q : seq nat) := match p, q with
  | _, [::] => false
  | [::], _ => true
  | h :: p', h' :: q' =>
    if h == h' then seq_lt p' q'
    else (h < h')
end.

到目前为止，我已经成功地展示了：

Lemma lt_not_refl p : seq_lt p p = false.
Proof.
  elim: p => //= ? ?; by rewrite eq_refl.
Qed.

以及

Lemma lt_not_eqseq : forall p q, seq_lt p q -> ~(eqseq p q).
Proof.
  rewrite /not. move => p q.
  case: p; case: q => //= a A a' A'.
  case: (boolP (a' == a)); last first.
  - move => ? ?; by rewrite andFb.
  - move => a'_eq_a A'_lt_A; rewrite andTb eqseqE; move/eqP => Heq.
    move: A'_lt_A; by rewrite Heq lt_not_refl.
Qed.

然而，我正在努力证明以下几点：

Lemma seq_lt_not_gt p q : ~~(seq_lt q p) -> (seq_lt p q) || (eqseq p q).
Proof.
  case: p; case: q => // a A a' A'.
  case: (boolP (a' < a)) => Haa'.
  - rewrite {1}/seq_lt.
    suff -> : (a' == a) = false by move/negP => ?.
    by apply: ltn_eqF.
  - rewrite -leqNgt leq_eqVlt in Haa'.
    move/orP: Haa'; case; last first.
    + move => a_lt_a' _; apply/orP; left; rewrite /seq_lt.
      have -> : (a == a') = false by apply: ltn_eqF. done.
    + (* What now? *)
Admitted.

我甚至不确定最后一个引理是否可以使用归纳法，但我已经在它上面几个小时了，不知道从这一点到哪里去。seq_lt的定义有问题吗？

Answer 1

我不确定你在归纳法上有什么问题，但证据似乎很简单：

Local Notation "x < y" := (seq_lt x y).
Lemma seq_lt_not_gt p q : ~~ (q < p) = (p < q) || (p == q).
Proof.
elim: p q => [|x p ihp] [|y q] //=; rewrite [y == x]eq_sym eqseq_cons.
by case: ifP => h_eq; [exact: ihp | rewrite orbF ltnNge leq_eqVlt h_eq negbK].
Qed.

如果你要使用orders，我建议你使用一些扩展ssreflect的库；我似乎记得Cyril Cohen在github上有一个开发。请注意，orders上的引理在mathcomp中的形式略有不同(例如ltn_neqAle)，因此您也可以这样做：

Lemma lts_neqAltN p q : (q < p) = (q != p) && ~~ (p < q).
Proof.
elim: p q => [|x p ihp] [|y q] //=; rewrite eqseq_cons [y == x]eq_sym.
by case: ifP => h_eq; [apply: ihp | rewrite ltnNge leq_eqVlt h_eq].
Qed.

这对于重写来说可能会更好一些。

附注:对于你的第二个引理，我建议用这个证明：

Lemma lt_not_eqseq p q : seq_lt p q -> p != q.
Proof. by apply: contraTneq => heq; rewrite heq lt_not_refl. Qed.