∃x∈S(P (x))是∃x(x∈S∧P (x))或∃x(x∈S→P (x))的缩写吗？

Question

《离散数学及其应用丛书》

作者:肯尼斯·H·罗森

在第二章设置2.1(第124页pdf格式)

“对量词使用集合表示法

有时，我们通过使用特定的符号来显式地限制量化语句的域。例如，∀x∈S (P (x))表示P (x)在集合S中所有元素上的通用量化。换句话说，∀x∈S(P (x))是∀x(x∈S→P (x))的简写。类似地，∃x∈S (P (x))表示P (x)在S中所有元素上的存在量化，即∃x∈S(P (x))是∃x(x∈S∧P (x))的简写。“

但是∃x∈S(P (x))不是∃x(x∈S→P (x))的缩写吗？

如果它是∃x∈S(P (x))对∃x(x∈S∧P (x))的简写，那么为什么？难道‘∧’(和)不一定要被‘→’取代吗？

Answer 1

最初的描述似乎是正确的。这种差异是由于将量化语句“限制”到较小集合的性质造成的。我将用英语重新表述逻辑:对于泛量化，你想说S中的每个元素都满足P，换句话说，对于任何x，如果x在S中，那么x一定满足P。对于存在量化，你想说S中有一些元素满足P，换句话说，有一些x使得x在S中，x满足P。

另一方面，你的提议，∃x(x ∈ S → P (x))意味着其他的东西。这意味着有一些x使得“如果x在S中，那么x满足P”。特别地，S之外的任何x都将满足该语句。

例如，取集合S = {1, 2, 3}和条件P(x) = x > 4。现在∃x∈S(P (x))应该是假的，因为在S中没有满足P的x。果然，∃x(x ∈ S ∧ P (x))也是假的。但是∃x(x ∈ S → P (x))是真的，因为数字5不在S中，因此它满足“如果x在S中，那么x满足P”。如果您对此感到惊讶，请参阅truth table of implication。这就是“蕴含”在逻辑中的定义。