不收敛:用牛顿-拉夫森法求解非线性方程组的根

Question

我尝试了非线性多项式函数，这段代码工作得很好。但对于这个问题，我尝试了几种方法来解线性方程df0*X=f0，使用反斜杠或bicg或lsqr，也尝试了几个初始值，但结果永远不收敛。

% Define the given function
syms x1 x2 x3

x=[x1,x2,x3];

f(x)=[3*x1-cos(x2*x3)-1/2;x1^2+81*(x2+0.1)^2-sin(x3)+1.06;...
    exp(-x1*x2)+20*x3+1/3*(10*pi-3)];

% Define the stopping criteria based on Nither or relative errors

tol=10^-5; 
Niter=100;

df=jacobian(f,x);

x0=[0.1;0.1;-0.1];

% Setting starting values

error=1; 
i=0; 

% Start the Newton-Raphson Iteration

while(abs(error)>tol)

f0=eval(f(x0(1),x0(2),x0(3)));

df0=eval(df(x0(1),x0(2),x0(3))); 

xnew=x0-df0\f0; % also tried lsqr(df0,f0),bicg(df0,f0)

error=norm(xnew-x0);

x0=xnew;

i=i+1

if i>=Niter

    fprintf('Iteration times spill over Niter\n');

    return;

end

end

Answer 1

你需要匿名函数来更好地完成这项工作(我们今天顺便提过了！)

首先，让我们了解一下函数的定义。匿名函数是以类似于数学函数的方式调用事物的好方法。例如,

f = @(x) x^2;

是一个平方函数。要评估它，就像你在纸上写的那样，f(2)说。由于您有一个多元函数，因此需要将定义向量化，如下所示：

f(x) = @(x) [3*x(1) - cos(x(2) * x(3)) - 1/2; ...

对于您的雅可比矩阵，您需要使用另一个匿名函数(可能称为grad_f)，并在纸上计算它，然后在代码中进行编码。函数jacobian使用有限差分，因此误差可能会随着雅可比在某些区域不稳定而堆积。

关键是要小心，并使用一些好的编码实践。有关匿名函数和其他良好的this document实践的更多信息，请参见MATLAB。