用5个三维点计算三维单应性

Question

我在一个投影空间中有一组三维点，我想把它们转换成一个公制的三维空间，这样我就可以用米来测量距离。

为此，我需要3D到3D的单应性，它是一个具有15个自由度的4x4矩阵(因此我需要5个3D点才能得到15个方程)。我有一组来自投影空间的这5个3D点，以及它们在度量空间中对齐的相应的5个3D点(我希望5个投影点转换到该空间)。

我想不出如何估计单应矩阵。一开始我试过了：

A=np.vstack([p1101.T, p1111.T, p0101.T, p0001.T, p0011.T])
b=np.array([[1,1,0,1], [1,1,1,1], [0,1,0,1], [0,0,0,1], [0,0,1,1]])
x, _, _, _ = np.linalg.lstsq(A,b)
H = x.T

其中p1101是对应于3D度量空间中的1,1,0,1的X，Y，Z,1点，依此类推。然而，这是不正确的，因为我是在射影空间中，所以我需要创建一个方程式集，在这里我将H的行除以它的最后一行或类似的东西。

我想也许有一个实现的方法可以为我做到这一点，例如在opencv中，但没有找到。任何帮助都将不胜感激。

Answer 1

我终于和一个朋友解决了这个问题，并愿意分享这个解决方案。

因为在射影空间中，一个人需要求解一个方程组，其中结果的同源坐标是彼此坐标的分母。也就是说，如果你想找到一个4x4单应矩阵H，并且你有匹配的3D点x和b (b在物元空间中)，你需要优化H参数的搜索，这样应用在x上的H会给出一个具有4个坐标的向量v，这样v的前三个坐标除以最后一个坐标就是B。写在numpy：

v = H.dot(x)
v = v[:3]/v[3]
v == b  # True

在数学上，优化是基于这样的(为了简单起见，这只集中在第一个坐标上，但其他坐标是以相同的方式完成的)：

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因此，在python中，需要以解释的方式排列求解器的方程，其中有5个匹配点。问题中的方法是好的(只是没有解决正确的问题)，在这些方面，它将进行Ax=b最小二乘优化，使得A是15x15矩阵，b是15维向量。每个匹配点生成3个方程，然后5个匹配点将生成15个内置到矩阵A中的方程，从而求解3D单应性H的15个自由度。