如何利用这个循环中的置换对称性？

Question

我有一个标量函数f(a,b,c,d)，它的排列对称性如下

f(a,b,c,d) = f(c,d,a,b) = -f(b,a,d,c) = -f(d,c,b,a)

我正在使用它来完全填充一个4D数组。下面的代码(使用python/NumPy)可以工作：

A = np.zeros((N,N,N,N))
for a in range(N):
    for b in range(N):
        for c in range(N):
            for d in range(N):
                A[a,b,c,d] = f(a,b,c,d)

但很明显，我想利用对称性来减少这段代码的执行时间。我试过了：

A = np.zeros((N,N,N,N))
ab = 0
for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd  = 0
        for c in range(N):
            for d in range(N):
                cd += 1
                if ab >= cd:
                    A[a,b,c,d] = A[c,d,a,b] = f(a,b,c,d)

这会将执行时间减半。但对于最后一个对称性，我尝试了：

A = np.zeros((N,N,N,N))
ab = 0
for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd  = 0
        for c in range(N):
            for d in range(N):
                cd += 1
                if ab >= cd:
                    if ((a >= b) or (c >= d)):
                        A[a,b,c,d] = A[c,d,a,b] = f(a,b,c,d)
                        A[b,a,d,c] = A[d,c,b,a] = -A[a,b,c,d]

这是可行的，但并没有给我带来接近两倍加速的另一个因素。我不认为这是正确的理由，但我看不出为什么。

在这里，我如何更好地利用这种特殊的排列对称性？

Answer 1

有趣的问题！

对于N=3，应该有81个包含4个元素的组合。使用您的循环，可以创建156个。

看起来重复项的主要来源是(a >= b) or (c >= d)中的or，它太宽松了。不过，(a >= b) and (c >= d)的限制太大了。

不过，你可以比较一下a + c >= b + d。要获得几毫秒(如果有的话)，您可以在第三个循环中将a + c保存为ac：

A = np.zeros((N,N,N,N))
ab = 0
for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd  = 0
        for c in range(N):
            ac = a + c
            for d in range(N):
                cd += 1
                if (ab >= cd and ac >= b+d):
                    A[a,b,c,d] = A[c,d,a,b] = f(a,b,c,d)
                    A[b,a,d,c] = A[d,c,b,a] = -A[a,b,c,d]

使用这段代码，我们创建了112个组合，因此与您的方法相比，重复的代码更少，但仍然可能会留下一些优化。

更新

下面是我用来计算创建的组合数量的代码：

from itertools import product

N = 3
ab = 0

all_combinations = set(product(range(N), repeat=4))
zeroes = ((x, x, y, y) for x, y in product(range(N), repeat=2))
calculated = list()

for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd = 0
        for c in range(N):
            ac = a + c
            for d in range(N):
                cd += 1
                if (ab >= cd and ac >= b + d) and not (a == b and c == d):
                    calculated.append((a, b, c, d))
                    calculated.append((c, d, a, b))
                    calculated.append((b, a, d, c))
                    calculated.append((d, c, b, a))

missing = all_combinations - set(calculated) - set(zeroes)

if missing:
    print "Some sets weren't calculated :"
    for s in missing:
        print s
else:
    print "All cases were covered"
    print len(calculated)

有了and not (a==b and c==d)，这个数字就降到了88。