根据前三组UV坐标确定第四组UV坐标

Question

假设我有一个四边形，我正在对它应用一个台球桌纹理。我知道前三个顶点的UV坐标(以蓝色突出显示)，但不知道第四个顶点的UV坐标。

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例如，在上图中，我知道左上角坐标是0，0，右上角坐标是1，0，左下角坐标是0，1。我如何从数学上确定右下角UV坐标是1，1？我想要计算出第四组UV坐标在数学上是什么，这样显示在三角形中的纹理我知道UV坐标将适合四边形。

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我需要能够处理复杂的情况。UV坐标和X，Y和Z坐标可以是任何东西，除了我知道它永远是一个平面。

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最后，我需要能够计算具有任意数量顶点的面。

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我最初的方法是检查U坐标在特定的X距离上变化了多少，然后对Y和Z也是如此，直到我找到了一个关系，但我一直在寻找这种逻辑的新例外，我想知道是否有更简单的方法。

我如何插值UV来计算第四，第五...第n点？没有特定的编码语言--我只是在寻找方法。

Answer 1

计算缺少U/V属性的顶点的barycentric coordinates，并使用这些坐标推断缺少的属性(U/V或实际上的任何其他属性)。

下面是一个具有位置P和U/V坐标T的附加面顶点的完整推导和解决方案

P1 = (x1, y1, z1), T1 = (u1, v1)
P2 = (x2, y2, z2), T2 = (u2, v2)
P3 = (x3, y3, z3), T3 = (u3, v3)
P  = (x , y , z ), T  = (u , v ) = ?

支撑三角形(P1，P2，P3) (以及整个面)的平面上的点P具有重心坐标l1，l2，l3

P = l1 P1 + l2 P2 + l3 P3

with l1 + l2 + l3 = 1

这可以重写为：

P - P1 = ( l1 - 1 ) P1 + l2 P2 + l3 P3
       = -( l2 + l3 ) P1 + l2 P2 + l3 P3
       = l2 ( P2 - P1 ) + l3 ( P3 - P1 )

with l1 = 1 - l2 - l3

将向量V = P - P1投影到向量V21 = P2 - P1和V31 = P3 - P1上会得到：

< V, V21 > = l2 < V21, V21 > + l3 < V31, V21 >
< V, V31 > = l2 < V21, V31 > + l3 < V31, V31 >

其中< V1, V2 >是3D矢量V1和V2的点积。

因此(l1，l2，l3)可以通过求解线性系统来求解P：

G L = ( < V21, V21 > < V31, V21 > ) ( l2 ) = ( < V, V21 > ) = D
      ( < V21, V31 > < V31, V31 > ) ( l3 )   ( < V, V31 > )

L = ( l2 ) = G^-1 D
    ( l3 )

and l1 = 1 - l2 - l3

这可以显式地解决：

d = < V21, V21 > < V31, V31 > - < V21, V31 >^2

l1 = 1 - l2 - l3
l2 = ( < V31, V31 > < V, V21 > - < V21, V31 > < V, V31 > ) / d
l3 = ( < V21, V21 > < V, V31 > - < V21, V31 > < V, V21 > ) / d

请注意，由于附加顶点的位置P位于三角形(P1，P2，P3)之外，因此不等式l1, l2, l3 >= 0不一定再成立。

最后，计算附加顶点的外推U/V坐标T：

T = l1 T1 + l2 T2 + l3 T3