具有numpy的更高精度的特征值

Question

我目前正在计算不同矩阵的几个特征值，并试图找到它们的闭合形式的解。该矩阵是厄米特矩阵/自共轭矩阵，并且是三对角矩阵。另外，每个对角线元素都是正的，每个非对角线元素都是负的。

由于我怀疑这是一个尝试代数求解五次项的问题，渐近不能求解我的14x14矩阵的特征值。

Numpy给了我很好的结果，有时我可以通过wolfram-alpha使用，但有时精度不够，无法确定封闭形式的解决方案可以采用几个候选者中的哪一个。因此，我希望提高numpy.linalg.eigenvaluesh输出特征值的精度。任何帮助都将不胜感激！

Answer 1

size>=5的特征值问题没有一般的闭合形式的解(因为你提到的原因)，所以所有的一般特征解算器都是迭代的。因此，有几个错误来源。首先，算法本身的收敛性存在误差。也就是说，即使你所有的计算都是精确的，你也需要运行一定数量的迭代来获得一定的准确性。其次，有限的精度限制了整体精度。数值分析人员研究对于给定算法和精度，您可以获得多精确的解决方案，并在这方面有结果。

对于你的具体问题，如果你没有得到足够的准确性，你可以尝试做一些事情。第一，确保你的方法使用了最好的求解器。也就是说，由于您的矩阵是对称的和三对角线的，请确保您使用的是这种类型的求解器(如norok2所建议的)。

如果这仍然不能给你足够的准确性，你可以尝试提高精度。然而，在numpy中这样做的主要问题是，幕后的LAPACK函数是为float64编译的。因此，即使numpy函数允许更高精度的输入(float128)，它也会在调用LAPACK函数之前对它们进行舍入。也许可以重新编译这些函数以获得更高的精度，但这可能不值得为您的特定问题付出努力。(顺便说一句，我对scipy不是很熟悉，所以他们可能有用python编写的支持所有不同类型的特征解析器，但你需要注意的是，他们实际上是在以更高的精度完成每一步，而不是默默地舍入到float64。)

对于您的问题，我建议使用包mpmath，它支持任意精度的线性代数。它有点慢，因为一切都是在软件中完成的，但对于14x14矩阵来说，它仍然应该是相当快的。