MATLAB的bvp4c计算的是什么雅克比？

Question

我正在尝试用MATLAB的bvp4c来调试我的“奇异雅可比”问题。我的问题是:哪些雅可比人正在被评估？我们有常微分方程y‘= f(x，y)的非线性系统。我假设f_i关于y_j的导数被放入一个矩阵中，并在y的某个值上求值。也许这个矩阵对于bvp4c算法来说应该是可逆的，尽管我发现该算法在不是这样的情况下是收敛的。

边界条件g(ya，yb) = 0的残差是什么？我假设g_i相对于ya_j的导数是取的。这给出了一个矩阵。此外，还可以求g_i相对于yb_j的导数。这也给出了一个矩阵。bvp4c会评估这些雅可比人吗？如果是这样，那么如果任何g不包含ya或yb，那么它们将始终是单数。有没有人能给我一些解释奇异雅可比误差的理论？谢谢。

Answer 1

所有这些都是肯定的。求解器将所有的步长方程和边界条件放入一个大的非线性系统中，并对其应用一些牛顿或类似牛顿的方法。在一个非常简单的版本中，您可以在中间使用梯形步骤，因此您的系统是

left_bc(x[0],y[0])=0
y[1]-y[0] - 0.5*( x[1]-x[0]) * ( f(x[0],y[0]) + f(x[1],y[1]) ) = 0
...
y[N]-y[N-1] - 0.5*( x[N]-x[N-1]) * ( f(x[N-1],y[N-1]) + f(x[N],y[N]) ) = 0
right_bc(x[N],y[N])=0

如你所见，f wrt的雅各比人。y是该系统的雅可比矩阵中的块。与任何大型非线性系统一样，求解过程很大程度上取决于初始点。

BVP4c使用四阶配置法而不是二阶梯形步长(也属于配置法的一类)。