用Octave/Matlab求解嵌入非微分方程组的微分方程系统(见图)

Question

我有the following equation system (click to see picture)，我想解决X(t)，Y(t)，Z(t)，希望用我熟悉的Octave/Matlab，但我不介意用任何其他必要的方法来解决它。

现在，Fsolve对于正则方程组是有用的，而Ode45，Lsode对于微分方程是有用的。但是，这个特殊的系统呢？请注意，底部的微分方程不仅包含Y，还包含X和Z，它们依赖于上面的两个非微分方程。

老实说，我不太确定如何使用基本的代码来解决这个系统，在花了一些时间思考之后，我决定寻求帮助。如果可能的话，我真的很感谢任何能有效地解决这个问题的指导。现在几乎所有的回复对我来说都是有用的。

Answer 1

如果你知道y，你可以求解x，这甚至可以无条件地作为x中单调的第二个方程

x = fsolve(@(x) y^2-1413.7*x-1095.2*cos(x)+2169, 0)

一旦知道了x，就可以使用已知的逆余弦来求解z

z = acos(0.20978-cos(x))

如果cos(x)接近-1，这实际上可能无法给出结果。一个人可以人为地消除这个错误，引入一个可能错误的解决方案

z = acos(min(1,0.20978-cos(x)))

为简单起见，将这些操作组装到一个helper函数中

function [x,z] = solve_xz(y)
    x = fsolve(@(x) y^2-1413.7*x-1095.2*cos(x)+2169, 0);
    z = acos(min(1,0.20978-cos(x)));
end

现在使用它来获取y的ODE

function dy = ode_y(t,y)
    [x,z] = solve_xz(y(1));
    dy = [ y(2); y(3); 6666.6667*(z-x)-333.3333*y(1)-33.3333*y(2)-5*y(3) ];
end

并应用您选择的ODE求解器。很可能系统是僵硬的，所以ode45可能不是最好的求解器。