密度矩阵与完备性关系的区别

Question

量子力学中的完备性关系的表达式是-

Σ |ψ_n><ψ_n| = 1

其中统计力学中密度矩阵的表达式为-

ρ = Σ p_n |ψ_n><ψ_n|

这两个方程看起来是一样的。那么密度矩阵和完备性关系有什么区别呢？

它们之间的基本区别是什么？

Answer 1

形式上的区别是，对于密度矩阵，存在前因子p_n，它们的总和为1，而不是像完备性关系中那样全部为1。

其含义也大不相同。

这里粗略地说明了它们的含义:这个对象是一个投影运算符：|ψ_n><ψ_n|它在n-th基向量上投影。为了简单起见，让我们举一个简单的例子。假设我们的希尔伯特空间是三维的。然后求和从1到3。每个所谓的纯状态可以由3维空间中长度为1的向量表示，如以下示例：

|ψ_1> = (1, 0, 0)T
|ψ_2> = (0, 1, 0)T
|ψ_3> = (0, 0, 1)T
|φ> := (0, 1/2^0.5, 1/2^0.5)T

( "T“代表转置)这些投影运算符可以写成矩阵，例如：

             / 0  0  0 \
|ψ_2><ψ_2| = | 0  1  0 |
             \ 0  0  0 /

现在，这些投影运算符所做的是在其中一个坐标轴上投影一个向量。例如，对于n=2，我们投射到y-axis。

|ψ_2><ψ_2|φ> = (0, 1/2^0.5, 0)

现在，完备性关系表明，当在每个坐标轴上投影时，您得到的这3个向量的和再次是原始向量(请参阅Basis Decomposition。因为对于任何向量都是如此，这意味着运算是单位矩阵：

                                       / 1  0  0 \  +   / 0  0  0 \  +   / 0  0  0 \     / 1 0 0 \
|ψ_1><ψ_1| + |ψ_2><ψ_2| + |ψ_3><ψ_3| = | 0  0  0 |  +   | 0  1  0 |  +   | 0  0  0 |  =  | 0 1 0 |  =  1
                                       \ 0  0  0 /  +   \ 0  0  0 /  +   \ 0  0  1 /     \ 0 0 1 /

现在密度矩阵完全是另一回事了。权重p_n描述了一个状态是几个“纯”状态的混合。例如，参见https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix