在不使用rsolve的情况下计算第n次递归

Question

我正在编写一个应用程序，它必须解决一些递归关系，但有一些关系不能使用sympy的rsolve方法解析解决。它只返回None。有没有一种方法可以强制渐近在数值上解决它们？

我有这样的东西：

from sympy import *

ctx = {
  "f": Function("f"),
  "x": var("x",integer=True)
}

initial_conditions = {
    0: 1,
    1: 1,
    2: 1,
    3: 1
}

f = sympify("-2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3 -f(x)", ctx)

# calculate f(10) here without creating a closed from
# The code below will not work rsolve returns None
solve_for = sympify("f(x)", ctx)
solved = rsolve(f, solve_for, initial_conditions)

我希望有人能帮助我！

Answer 1

这是我用数值计算递归关系的解决方案。当您指定递归关系作为输入以简化时，请确保值f(x)不是字符串的一部分。也就是说，如果递归关系是

f(x) = -2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3

您的输入字符串应为：

"-2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3"

此外，这种解决方案仅限于线性递归关系，尽管它也可以扩展到其他情况。

代码所做的是遍历递归关系的语法树，并通过数值计算或查找f(x)的已知值来计算每个节点。

from sympy import *
import operator
ctx = {
  "f": Function("f"),
  "x": var("x",integer=True)
}

initial_conditions = {
    0: 1,
    1: 1,
    2: 1,
    3: 1
}

func1 = sympify("-2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3", ctx)



def contains_function(f):
    if issubclass(type(f),Function):
        return True
    r = map(contains_function,f.args)
    return (sum(r) != 0)


def get_numeric_value(arg):

    if arg.is_number:
        if arg.is_integer:
            return int(arg)

        else:
            return float(arg)    
    else:
        return None

def evaluate_at(f, n, initial_conditions):


    if f.is_Add:
        result = 0
        op = operator.add
    elif f.is_Mul:
        result = 1
        op = operator.mul
    elif f.is_Function:
        func_arg = f.args[0]
        func_arg_val = int(func_arg.subs(func_arg.free_symbols.pop(),n))
        if not func_arg_val in initial_conditions:
            return None
        else:
            return initial_conditions[func_arg_val]

    else:
        return None

    for arg in f.args:
        if arg.is_number:
            result= op(result, get_numeric_value(arg))
        elif contains_function(arg):
            r = evaluate_at(arg,n,initial_conditions)
            if r:
                result=op(result,r)
            else:
                return None
        else:
            result =op(result,get_numeric_value(arg.subs(arg.free_symbols.pop(),n)))


    return result


known_values = dict(initial_conditions)
for n in range(4,11):
    known_values[n]  = evaluate_at(func1,n,known_values)

Answer 2

可能出现的情况是这个问题没有解析解(见下文)，我会考虑使用线性代数方法here

from sympy import Function, rsolve
from sympy.abc import n

y = Function("y")
initial_conditions = {y(0): 1, y(1): 1, y(2): 1, y(3): 1}
f = -2*y(x-1)+11*y(x-2)+12*y(x-3)-36*y(x-4)+41**(x-4)+3-y(x)
print(rsolve(f, y(x)))
print(rsolve(f, y(x), initial_conditions))

返回：

(-3)**x*(C0 + C1*x) + 2**x*C1*(C0 + C1*x)/C0 + 41**x/2944656 + 3/16

None