当导数的值受到约束时，如何拟合多项式？

Question

对于x的某个取值范围，是否存在对多项式函数f(x)的导数的最大值有约束的解的简单方法

与回答this question一样，来自scipy.optimize的curve_fit可以处理单个系数上的约束，如下例所示：

def func(x, a, b, c, d):
  return a + b * x + c * x ** 2 + d * x ** 3

x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])

popt_cons, _ = curve_fit(func, x, y, bounds=([-np.inf, 2, -np.inf, -np.inf], [np.inf, 2.001, np.inf, np.inf]))
print(popt_cons)
>>> [-0.14331349  2.         -0.95913556  0.10494372]

但是，如果我想要最佳拟合多项式，其中存在对某个x值范围的加速度(二阶导数)的最大值的约束，该怎么办？这意味着，通过对函数进行两次集成，假设在0到10之间使用x，则对2*c + 6*d*x的值有一个约束。有没有方法可以做到这一点，或者我必须从头开始构建？

Answer 1

curve_fit方法不支持附加约束。但是，您可以实现非线性最小二乘问题。

min ||f(x, coeffs) - y||^2

s.t.    lb <= coeffs <= ub
     f''(x, coeffs) <= max_val for all x_lb <= x <= x_ub

并使用minimize解决它。下面是一个如何通过np.polyval和np.polyder完成此操作的示例

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])

def objective(coeffs):
    return np.linalg.norm(np.polyval(coeffs, x) - y)

def constraint(coeffs, deriv_order, x_lb, x_ub, max_val):
    deriv_coeffs = np.polyder(coeffs, deriv_order)
    # Evaluate the derivative for all x_lb <= x <= x_ub
    deriv_value = np.polyval(deriv_coeffs, x[(x >= x_lb) & (x <= x_ub)])
    return -1.0*deriv_value + max_val

# Each inequality constraint has the form fun(x) >= 0
cons = [{'type': 'ineq', 'fun': lambda coeffs: constraint(coeffs, 2, 0.0, 3.0, 20)}]
bnds = [(-np.inf, np.inf), (2, 5.001), (-np.inf, np.inf), (-np.inf, np.inf)]

poly_degree = 3
res = minimize(objective, x0=2.0*np.ones(poly_degree+1), bounds=bnds, constraints=cons)

注意，每个不等式约束都有fun(x) >= 0的形式，即我们有-f''(x, coeffs) + max_val >= 0，我们使用x_lb = 0.0，x_ub = 3.0和max_val = 20作为二阶导数。最后，res.x包含多项式系数。