如何在MATLAB中求解单分量线性方程组

Question

我需要解线性系统

A x = b

这可以通过以下方式有效地完成

x = A \ b

但是现在A非常大，我实际上只需要一个组件，比如说x(1)。有没有比计算x的所有组件更有效的方法来解决这个问题？

A不是稀疏的。在这里，效率实际上是一个问题，因为许多b都是这样做的。

此外，存储K的倒数并仅将其第一行与b相乘是不可能的，因为K的条件很糟糕。在这种情况下，使用\运算符将使用低密度脂蛋白求解器，当显式使用反向运算符时，精度会降低。

Answer 1

通常表示为\的mldivide方法接受一次解决具有相同A的多个系统。

x = A\[b1 b2 b3 b4] # where bi are vectors with n rows

为每个b求解系统，并将返回一个nx4矩阵，其中每一列都是每个b的解。像这样调用mldivide应该会提高效率，因为分解只进行一次。

因为在许多分解中，比如LU od LDL‘(在你特别感兴趣的分解中)，矩阵乘以x是上对角线，第一个要求解的值是x(n)。然而，必须进行LDL的分解，一个简单的向后替换算法不会成为代码的瓶颈。因此，可以保存分解，以避免对每个bi重复计算。因此，代码如下所示：

[LA,DA] = ldl(A);
DA = sparse(DA);
% LA = sparse(LA); %LA can also be converted to sparse matrix
% loop over bi
  xi = LA'\(DA\(LA\bi));
% end loop

正如您在mldivide (Algorithms section)的文档中看到的，它对输入矩阵执行一些检查，并且将LA定义为full，将DA定义为sparse，它应该直接使用三角形求解器和三对角线求解器。如果LA转换为稀疏，它也会使用三角形求解器，我不知道转换为稀疏是否会有任何改进。

Answer 2

我认为从技术上讲，你不会得到一个非常优化的Matlab例程的加速，但是，如果你理解它是如何求解的，那么你可以只求解x的一部分。例如，在传统的求解器中，你可以使用following.来求解QR。在逻辑单元求解中，你同时使用后部子函数和前部子函数。我可以得到LU。不幸的是，由于它解决问题的方式，它实际上是从最后开始的。对于同时使用这两种方法的低密度脂蛋白也是如此。这并不排除可能有更有效的方法来解决你所拥有的一切。

 function [Q,R] = qrcgs(A)
%Classical Gram Schmidt for an m x n matrix 

[m,n] = size(A); 
% Generates the Q, R matrices
Q = zeros(m,n); 
R = zeros(n,n);
    for k = 1:n
        % Assign the vector for normalization
        w = A(:,k);
        for j=1:k-1
            % Gets R entries
            R(j,k) = Q(:,j)'*w;
        end

        for j = 1:k-1
           % Subtracts off orthogonal projections 
           w = w-R(j,k)*Q(:,j);
        end
        % Normalize 
        R(k,k) = norm(w);
        Q(:,k) = w./R(k,k);
    end

end

function x = backsub(R,b)
% Backsub for upper triangular matrix.
[m,n] = size(R);
p = min(m,n);
x  = zeros(n,1);

    for i=p:-1:1
        % Look from bottom, assign to vector
        r = b(i);
        for j=(i+1):p
            % Subtract off the difference
            r = r-R(i,j)*x(j);
        end
        x(i) = r/R(i,i);
    end

end