线性回归中找不到最优参数的梯度下降

Question

我正在尝试实现梯度下降算法，以便根据安德鲁·吴恩达的课程拍摄的以下图像来拟合一条直线以适应噪声数据。

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首先，我声明我想要拟合的嘈杂直线：

xrange =(-10:0.1:10); % data lenght
ydata  = 2*(xrange)+5; % data with gradient 2, intercept 5
plot(xrange,ydata); grid on;
noise  = (2*randn(1,length(xrange))); % generating noise 
target = ydata + noise; % adding noise to data
figure; scatter(xrange,target); grid on; hold on; % plot a sctter

然后我初始化这两个参数，目标函数历史如下：

tita0 = 0 %intercept (randomised)
tita1 = 0 %gradient  (randomised)

% Initialize Objective Function History
J_history = zeros(num_iters, 1);

% Number of training examples
m = (length(xrange));

我继续编写梯度下降算法：

for iter = 1:num_iters

    h = tita0 + tita1.*xrange; % building the estimated 

    %c = (1/(2*length(xrange)))*sum((h-target).^2)

    temp0 = tita0 - alpha*((1/m)*sum((h-target)));
    temp1 = tita1 - alpha*((1/m)*sum((h-target))).*xrange;
    tita0 = temp0;
    tita1 = temp1;

    J_history(iter) = (1/(2*m))*sum((h-target).^2); % Calculating cost from data to estimate

end

最后但并非最不重要的是情节。我正在使用MATLAB内置的polyfit函数来测试我的拟合的准确性。

% print theta to screen
fprintf('Theta found by gradient descent: %f %f\n',tita0,  tita1(end));
fprintf('Minimum of objective function is %f \n',J_history(num_iters));

%Plot the linear fit
hold on; % keep previous plot visibledesg
plot(xrange, tita0+xrange*tita1(end), '-'); title(sprintf('Cost is %g',J_history(num_iters))); % plotting line on scatter

% Validate with polyfit fnc
poly_theta = polyfit(xrange,ydata,1);
plot(xrange, poly_theta(1)*xrange+poly_theta(2), 'y--');
legend('Training data', 'Linear regression','Linear regression with polyfit')
hold off 

结果：

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可以看出，我的线性回归根本不能很好地工作。似乎两个参数(y截距和梯度)都没有收敛到最优解。

任何关于我在实现过程中可能做错的地方的建议都将不胜感激。我似乎不能理解我的解决方案与上面所示的方程式有什么不同。谢谢!

Answer 1

您的theta_1实现不正确。Andrew Ng的方程也是跨x求和的。您可以为theta_0和theta_1提供以下功能

temp0 = tita0 - alpha*((1/m)*sum((h-target)));
temp1 = tita1 - alpha*((1/m)*sum((h-target))).*xrange;

请注意，sum((h-target))出现在两个公式中。在求和之前，你需要先将x相乘。我不是一个MatLab程序员，所以我不能修复你的代码。

您在不正确的实现中所做的总体情况是，您正在将截距和斜率的预测值推向同一方向，因为您的变化总是与sum((h-target))成比例。这不是梯度下降的工作方式。

Answer 2

更改tita1的更新规则，如下所示：

temp1 = tita1 - alpha*((1/m)*sum((h-target).*xrange));

另外，另一点是你并不真正需要临时变量。

通过设置

num_iters = 100000
alpha = 0.001

我可以恢复

octave:152> tita0
tita0 =  5.0824
octave:153> tita1
tita1 =  2.0085