求解ODEs算法的有限差分方法

Question

我正在尝试设计一种用于有限差分法的算法，但我有点困惑。所讨论的常微分方程是y''-5y'+10y = 10x，其中y(0)=0，y(1)=100。因此，我需要一种方法来获得系数，该系数将从关系中乘以"y_i“：

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然后将得到的系数存储到一个矩阵中，这将是我将通过高斯-乔丹求解的系统的矩阵。问题归结为如何获得这些系数并将它们移动到矩阵中。我想过手动计算系数，然后输入矩阵，但我需要对大小为0.1，0.001和0.001的步长执行此操作，所以这在这里确实不是一个可行的选择。

Answer 1

让我们假设ODE的更一般情况

c1 * y''(x) + c2 * y'(x) + c3 * y(x) + c4 * x = 0

在边界条件下

y(0) = lo
y(1) = hi

您希望为步长为h = 1 / n (其中n + 1是样本数)的x ∈ [0, 1]解决此问题。我们想要解决yi = y(h * i)的问题。yi的范围从i ∈ [0, n]开始。为此，我们想要解决一个线性系统

A y = b

每个内部yi都会施加一个线性约束。因此，我们在A和n - 1列中有对应于未知yi的n - 1行。

要设置A和b，我们只需在未知的yi上滑动一个窗口(我假设从零开始建立索引)。

A = 0  //the zero matrix
b = 0  //the zero vector
for i from 1 to n - 1
    //we are going to create the constraint for yi and store it in row i-1

    //coefficient for yi+1
    coeff = c1 / h^2 + c2 / h
    if i + 1 < n
        A(i - 1, i) = coeff
    else
        b(i - 1) -= coeff * hi  //we already know yi+1

    //coefficient for yi
    coeff = -2 * c1 / h^2 - c2 / h + c3
    A(i - 1, i - 1) = coeff

    //coefficient for yi-1
    coeff = c1 / h^2
    if i - 1 > 0
        A(i - 1, i - 2) = coeff
    else
        b(i - 1) -= coeff * lo  //we already know yi-1

    //coefficient for x
    b(i - 1) -= c4 * i * h
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