为什么有些语言会舍入最接近的偶数？

Question

编程语言，如Scheme (R5RS)和Python (见这个问题)，当值恰好位于周围整数之间时，就会向最近的偶数方向旋转。

这背后的原因是什么？

是否有一种数学思想能使下列计算更容易推理？

(R5RS引用IEEE浮点标准作为此行为的来源。)

Answer 1

不久前，我构建了一个连续四舍五入的测试程序，因为它基本上是对舍入算法的最坏的压力测试。

对于从0到9,999的每一个数字，它第一轮到最近的10，然后到最近的100，然后到最近的1000。(你也可以认为，在[0，1]中的10,000点被四舍五入到3位，然后是2，然后是1。)这组数字的平均值为4999.5。

如果使用“四舍五入”方法完成所有三次循环，则结果如下(第一列是四舍五入的结果，第二列是对该结果四舍五入的数--即直方图)。

0     445
1000  1000
2000  1000
3000  1000
4000  1000
5000  1000
6000  1000
7000  1000
8000  1000
9000  1000
10000 555

结果与一个“四舍五入”的结果不同，在10,000次中，最接近的1,000次为1,5550次，平均四舍五入值为5055次(比原来的平均值高出55.5次)。

如果所有三次圆都是用“半圆下降”来完成的，那么结果是：

0     556
1000  1000
2000  1000
3000  1000
4000  1000
5000  1000
6000  1000
7000  1000
8000  1000
9000  1000
10000 444

这一结果与单轮下降一半的结果不同，在10,000次中，有1,000次降至最近的1,550次，且舍入值和平均值为4944次(太低，为55.5次)。

如果所有三个圆都是用“圆形半奇数”来完成的，则结果是：

0     445
1000  1111
2000  889
3000  1111
4000  889
5000  1111
6000  889
7000  1111
8000  889
9000  1111
10000 444

结果与单个“圆形半奇数”不同，在10,000次中，最接近的5,550次，平均四舍五入值为4999.5 (正确)。

最后，如果使用“圆形半平”完成所有三个圆，则结果如下：

0     546
1000  909
2000  1091
3000  909
4000  1091
5000  909
6000  1091
7000  909
8000  1091
9000  909
10000 1091

这一结果不同于单个“圆形半平”，即每10,000次中最接近的1,450次，平均舍入值为4999.5 (正确)。

我认为很明显，四舍五入对四舍五入值有偏差，所以四舍五入值的平均值不再与原始值的平均值相同，而“四舍五入”和“四舍五入”消除了偏倚，用另一半的方式和另一半的方式处理。连续四舍五入会使偏差相乘。

圆半偶数和圆半奇向分布引入了各自的偏差:分别对偶数位和奇数位的偏倚。在这两种情况下，同样，这种偏差被乘以连续四舍五入，但是对于四舍五入来说更糟糕。我认为这个例子的解释很简单:5是奇数，所以整半奇数的结果比整半偶数有更多的结果，因此，在下一次四舍五入时必须特别处理的结果更多。

因此，不管怎么说，在这四种选择中，只有两种是无偏的，而在这两种无偏的选择中，循环一半甚至在重复四舍五入的情况下给出了最优的分布。

Answer 2

这叫做银行家的四舍五入。这样做的目的是将许多舍入操作的累积误差降到最低。

让我们假设你总是把.5四舍五入。想想那些小小的利息，银行每次赚半美分.

比方说，你总是把.5加起来。会计会尖叫，因为你支付的利息比你应该支付的多。