blocks|key|2314642|text|我在快速阅读了参考资料后采取的措施。|type|unstyled|depth|inlineStyleRanges|entityRanges|data|2314643|首先，兰斯和威廉斯的原始论文提到它们的线性方案只适用于组合策略(并提供了计算优势)。极小极大连接是这样的组合策略吗？换句话说，它是否与成对距离(线性)有关？通过极小极大距离的定义，很明显这是不可信的。|offset|length|2314644|这就像mean和median计算在统计学上的区别一样。平均值是线性的，而中值是非线性的。没有线性组合可以从median计算mean+(虽然在某些有限的情况下它们可以重合)。|style|CODE|2314645|其次，提交人在假设的Lance方法中没有提到\alpha,+\beta,+\gamma参数的形式(或值)。但在任何情况下，它们都是常量，\alpha(\cdot)可以是相应集群大小的常量函数或有理函数(根据最初的Lance引用)。|2314646|G_2在两个面板中可能不具有相同的基数，但极小极大连接距离取决于簇的半径而不是基数(不像平均值或质心连接)，而且两个例子的半径相同，因此在这两种情况下\alpha(G_2)是相同的。|2314647|另一种看到这种情况的方法是证明的一种可能的变化，在这两种情况下，G_2都具有相同的半径和相同的基数，但配置不同。|2314648|📷|atomic|2314649|也许这样的证据会让事情变得更清楚。但我现在就不谈了。|entityMap|0|LINK|mutability|MUTABLE|url|https://www.semanticscholar.org/paper/A-General-Theory-of-Classificatory-Sorting-1.-Lance-Williams/3471d0771c9196415532e0497d981f77aacbf070|1|http://statweb.stanford.edu/%257Ejbien/jasa2011minimax.pdf|2|INLINETEX|IMMUTABLE|teX|\alpha,+\beta,+\gamma|3|\alpha(\cdot)|4|G_2|5|\alpha(G_2)|6|7|IMAGE|imageUrl|https://i.stack.imgur.com/mMD2l.png|imageAlt^0|0|3|B|0|0|3|4|8|6|1H|6|1P|4|0|M|L|1W|D|3|3|1|M|L|2|1W|D|3|0|0|3|23|B|0|3|4|23|B|5|0|W|3|W|3|6|0|0|1|7|0^^$0|@$1|2|3|4|5|6|7|1K|8|@]|9|@]|A|$]]|$1|B|3|C|5|6|7|1L|8|@]|9|@$D|1M|E|1N|1|1O]]|A|$]]|$1|F|3|G|5|6|7|1P|8|@$D|1Q|E|1R|H|I]|$D|1S|E|1T|H|I]|$D|1U|E|1V|H|I]|$D|1W|E|1X|H|I]]|9|@]|A|$]]|$1|J|3|K|5|6|7|1Y|8|@$D|1Z|E|20|H|I]|$D|21|E|22|H|I]]|9|@$D|23|E|24|1|25]|$D|26|E|27|1|28]|$D|29|E|2A|1|2B]]|A|$]]|$1|L|3|M|5|6|7|2C|8|@$D|2D|E|2E|H|I]|$D|2F|E|2G|H|I]]|9|@$D|2H|E|2I|1|2J]|$D|2K|E|2L|1|2M]]|A|$]]|$1|N|3|O|5|6|7|2N|8|@$D|2O|E|2P|H|I]]|9|@$D|2Q|E|2R|1|2S]]|A|$]]|$1|P|3|Q|5|R|7|2T|8|@]|9|@$D|2U|E|2V|1|2W]]|A|$]]|$1|S|3|T|5|6|7|2X|8|@]|9|@]|A|$]]]|U|$V|$5|W|X|Y|A|$Z|10]]|11|$5|W|X|Y|A|$Z|12]]|13|$5|14|X|15|A|$16|17]]|18|$5|14|X|15|A|$16|19]]|1A|$5|14|X|15|A|$16|1B]]|1C|$5|14|X|15|A|$16|1D]]|1E|$5|14|X|15|A|$16|1B]]|1F|$5|1G|X|15|A|$1H|1I|1J|-4]]]]

My take after a quick read of the references.
First of all, <a href="https://www.semanticscholar.org/paper/A-General-Theory-of-Classificatory-Sorting-1.-Lance-Williams/3471d0771c9196415532e0497d981f77aacbf070" rel="nofollow noreferrer">Lance and Williams's original paper</a> mentions that their linear scheme works (and offers computational advantage) only for combinatorial strategies. Is minimax linkage such a combinatorial strategy? In other words, does it depend (linearly) on pair-wise distances? By the defintion of minimax distance it is clear that this is implausible.
It is like the difference between <code>mean</code> and <code>median</code> computation in statistics. Mean is linear while Median is non-linear. There is no linear combination that can compute <code>median</code> from <code>mean</code> (although in certain limited cases they can coincide).
Second, <a href="http://statweb.stanford.edu/%7Ejbien/jasa2011minimax.pdf" rel="nofollow noreferrer">the authors</a> do not mention the form (or values) of the $\alpha, \beta, \gamma$ parameters in a hypothetical Lance-Williams method for minimax linkage. But in any case they are constants and $\alpha(\cdot)$ can be constant or rational functions of the respective cluster sizes (per the original Lance-Williams reference).
$G_2$ might not be of the same cardinality in the two panels, but minimax linkage distance depends on radius of cluster not cardinality (unlike average or centroid linkage) and the two examples have same radius thus $\alpha(G_2)$ is same in both cases.
Another way to see that this is the case is a plausible variation of the proof where $G_2$ in both cases has both same radius and same cardinality but different configuration.
<a href="http://statweb.stanford.edu/%7Ejbien/jasa2011minimax.pdf" rel="nofollow noreferrer"><img src="https://i.stack.imgur.com/mMD2l.png" alt="enter image description here" /></a>
Maybe such a proof would make it more clear. But I will leave it at that, at this point.

I found the following article on <a href="http://statweb.stanford.edu/~jbien/jasa2011minimax.pdf" rel="noreferrer">"Hierarchical Clustering With Prototypes
via Minimax Linkage"</a>.

It is stated in Property 6 that 

<blockquote>
 Minimax linkage cannot be written using <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ward%27s_method" rel="noreferrer">Lance–Williams</a> updates.
</blockquote>

A succinct proof using a counter-example is given:

<blockquote>
 Proof. 
 Figure 9 shows a simple one-dimensional example that could not
 arise if minimax linkage followed Lance– Williams updates. The upper
 and lower panels show two configurations of points for which the
 right side of (4) is identical but the left side differs; in
 particular, $d(G_1 \cup G_2,H) = 9$ for the upper panel, whereas
 $d(G_1 \cup G_2,H) = 8$ for the lower panel.
</blockquote>

But I do not understand their proof. For both cases (upper and lower panels), $d(G_1,H) = 16$, $d(G_2,H) = 7$, $d(G_1,G_2) = 5$.

I cannot see any reason that $\alpha(G_2)$ in the first case must equal $\alpha(G_2)$ in the second case. For instance, $G_2$ has not the same cardinal.

Is Minimax Linkage a Lance-Williams hierarchical clustering?

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我在基于Minimax链接的带原型的分层聚类上找到了下面的文章。“财产6”中指出Minimax链接不能使用兰斯-威廉姆斯更新来编写。用反例给出了一个简洁的证明：证据。图9显示了一个简单的一维示例，如果遵循Lance更新，则不可能出现minimax链接。上面板和下面板显示两个点的配置，其中(4)的右侧相同，但左侧不同；特别是上面板的d(G_1 \cup G_2,H) = 9，下面板的d(G_1 \c

问Minimax Linkage是Lance-Williams层次聚类吗？
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