NURBS曲线绘制

Question

如何绘制NURBS曲线？

与Bezier曲线相比，我只求Bernstein多项式，用控制点位置乘以它，就这样。

在NURBS维基百科页面的“NURBS曲线的一般形式”段落中，我很难看到其中的多项式。也许这个“基函数”最终是一个多项式？是否有一种有效的方法来构造和评价基础函数？

Answer 1

NURBS和Bezier曲线有两个不同之处.

1)它是理性的，这意味着它是一条曲线除以另一条曲线。(理性来源于“比率”，与其气质无关！)

理性并不是一个问题，虽然是简单的评估。甚至还有rational曲线，再一次，你只需把一个Bezier曲线除以另一个，得到最后的结果。

这允许您使用Bezier曲线来生成形状，否则您将无法这样做，例如，rational曲线可以精确地表示圆锥曲线。

下面是一个HTML5演示，您可以在其中使用rational曲线：http://demofox.org/bezquadrational.html

此外，这里还有一个着色玩具，它使用rational曲线计算sin！https://www.shadertoy.com/view/XtfSRH

2)第二个不同之处是，至少对我来说，这样的差异会使评估变得更加困难。第二个区别是NURBS，就像B样条一样，可以有任意数量的控制点，但是有一个固定的度。它的工作原理是，曲线上的任何给定点都只受特定数量的控制点的影响。

例如，可以有一个具有8个控制点的二次曲线，其中曲线上的每个点一次只由3个控制点定义。

控制点的影响开始和结束的地方称为节点向量。

基本上，如果你能求出一个有理曲线，你可以计算一个b样条，你就会知道如何计算一个NURBS。

解释如何评估一个b样条是太长的答案，我认为，有很多信息在网上，在教科书，所以我会链接到一些东西，可能会帮助你！

阅读De Boor的算法，它的b样条等价于De Casteljeau的算法：https://en.m.wikipedia.org/wiki/De_Boor%27s_算法

下面是一个在像素着色器中绘制b样条的着色玩具：https://www.shadertoy.com/view/MtfSRN

下面是关于如何计算b样条：http://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node18.html的信息

另外，下面是一些代码(GLSL)，它演示了如何计算一个8控制点三次B样条：

float N_i_1 (in float t, in float i)
{
    // return 1 if i < t < i+1, else return 0
    return step(i, t) * step(t,i+1.0);
}

float N_i_2 (in float t, in float i)
{
    return
        N_i_1(t, i)       * (t - i) +
        N_i_1(t, i + 1.0) * (i + 2.0 - t);
}

float N_i_3 (in float t, in float i)
{
    return
        N_i_2(t, i)       * (t - i) / 2.0 +
        N_i_2(t, i + 1.0) * (i + 3.0 - t) / 2.0;
}

float N_i_4 (in float t, in float i)
{
    return
        N_i_3(t, i)       * (t - i) / 3.0 +
        N_i_3(t, i + 1.0) * (i + 4.0 - t) / 3.0;
}

float SplineValue(in float t)
{
    return
        P0 * N_i_4(t, 0.0) +
        P1 * N_i_4(t, 1.0) +
        P2 * N_i_4(t, 2.0) +
        P3 * N_i_4(t, 3.0) +
        P4 * N_i_4(t, 4.0) +
        P5 * N_i_4(t, 5.0) +
        P6 * N_i_4(t, 6.0) +
        P7 * N_i_4(t, 7.0);   
}

我想你的问题归结为:是否有一种方法可以将down算法作为一个等价方程，就像Bernstein多项式是De算法的一种方程形式一样。

我不确定，但由于有“分支”(请参阅glsl代码中的N_i_1 )，这似乎很困难。也许其他人会对这部分有一个更直接的答案。