机器epsilon -找到epsi

Question

4.2 Machine找到具有下列特性的浮点数epsi：

1. 1.0+epsi大于1.0和
2. 设m_b_e小于epsi的任何数。则1.0+m等于1.0。

epsi被称为机器epsilon。它对于理解浮点数具有重要意义。

我编写了下面的程序来尝试找到我的机器epsilon值到给定的搜索深度(10)。你知道我怎样才能更好地写这个程序吗？

(defpackage :find-epsi (:use cl))
(in-package :find-epsi)

(defun smaller-scale (&OPTIONAL (epsi 1.0)) (if (> (+ 1.0 epsi) 1.0) (smaller-scale (/ epsi 10)) epsi))
(defun bigger (epsi inc-unit) (if (< (+ 1.0 epsi) 1.0) (bigger (+ epsi inc-unit) inc-unit) epsi))
(defun smaller (epsi dec-unit) (if (> (+ 1.0 epsi) 1.0) (smaller (+ epsi dec-unit) dec-unit) epsi))

(defun find-epsi (&OPTIONAL (search-depth 10) (epsi (smaller-scale)) (incdec-unit epsi))
  (if (= search-depth 0) epsi (find-epsi (1- search-depth) (bigger (smaller epsi incdec-unit) incdec-unit) incdec-unit)))

(format t "epsi: ~a ~%" (find-epsi))

似乎发现epsilon比我原先想象的要简单得多。你觉得下面的节目怎么样？

(defpackage :find-epsi (:use cl))
(in-package :find-epsi)

(defun find-epsi (&OPTIONAL (epsi 1.0)) 
  (if (> (+ 1.0 epsi) 1.0)  ; if the variable epsi is still significant
    (find-epsi (/ epsi 2)) ; halve it and try again
    epsi)) ; otherwise, we have found epsilon

(format t "epsi: ~a ~%" (find-epsi))

Answer 1

如果假设浮点数在内存中表示为(符号、尾数、指数)元组，并假定基数为2，则可以精确地找到机器epsilon。也就是说，如果我们可以假设机器存储的浮点数使用尾数和指数的基-2表示，那么我们就知道：

• 机器将准确地以浮点存储1的值--这将存储为尾数的1，指数的0，即1 * 2^0。
• 机器将存储它可以用尾数中的一个位来表示的所有2的幂，并通过改变指数来表示。例如，1/4可以表示为1 * (2 ^ -2)。任何具有代表性的两种权力都将在不丢失信息的情况下存储。
• 1 + epsi将是可以存储在浮点数尾数中的大于1的最小值。

编辑

第二个版本看起来比第一个版本要好得多，但我相信在find-epsi中恢复的次数有一个错误。我建议您创建一个测试函数，以查看您的结果是否是机器epsilon：

(defun epsi-sig-p (epsi)
  (> (+ 1.0 epsi) 1.0))

你可能会发现(is-sig (find-epsi))是#f..。这还建议您可以重构(在干原理下) find-epsi，以便在find-epsi中使用该测试函数：

(defun find-epsi (&OPTIONAL (epsi 1.0))
  (if (epsi-sig-p epsi)
    (find-epsi (/ epsi 2))
    epsi))

但我们还没有改变行为来修正计算。为此，我建议另一个例程，以检查是否应该尝试下一个可能的epsi：

(defun next-epsi (epsi) (/ epsi 2))
(defun is-epsi-p (epsi)
  (and (epsi-sig-p epsi) (not (epsi-sig-p (next-epsi epsi)))))
(defun find-epsi (&OPTIONAL (epsi 1.0))
  (if (is-epsi-p epsi)
    epsi
    (find-epsi (next-epsi epsi))))

is-epsi-p现在应该返回#t。