可容许序列的测试

Question

执行摘要:测试一个整数的输入序列是否“可接受”，这意味着它不包括任何模数的所有剩余类。

什么是“可接受”序列？

给定一个整数m≥2，剩余类模m就是一般差分m的m个可能的算术级数。例如，当≥时，4个剩余类模4是

..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...
..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...
..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...
..., -5, -1, 3, 7, 11, 15, ...

kth残差类由其除以m等于k的所有整数组成(只要对负整数正确定义“余数”)。

一个整数序列a1，a2，.，ak是容许模m，如果它不能相交至少一个剩余类。例如，{0，1，2，3}和{- 4，5，14，23}不是容许模4，但{0，1，2，4}和{0，1，5，9}和{0，1，2，-3}是可容许模4。此外，{0，1，2，3，4}是不可容许的模4，而{0，1，2}是可容许模4。

最后，如果一个整数序列是每一个整数m≥2的可容许模m，则它是简单可接受的。

挑战

编写以整数序列为输入的程序或函数，如果序列是可接受的，则返回(一致) Truthy值；如果序列不可接受，则返回(一致) Falsy值。

整数的输入序列可以是任何合理的格式。您可以假设输入序列至少有两个整数。(如果需要，还可以假设输入整数是不同的，尽管它可能没有帮助。)您必须能够处理正整数和负整数(和0)。

通常的密码-高尔夫评分:最短的答案，以字节为单位，获胜。

样本输入

以下输入序列应分别给出一个真实值：

0 2
-1 1
-100 -200
0 2 6
0 2 6 8
0 2 6 8 12
0 4 6 10 12
-60 0 60 120 180
0 2 6 8 12 26
11 13 17 19 23 29 31
-11 -13 -17 -19 -23 -29 -31

以下输入序列应分别给出一个Falsy值：

0 1
-1 4
-100 -201
0 2 4
0 2 6 10
0 2 6 8 14
7 11 13 17 19 23 29
-60 0 60 120 180 240 300

贴士

• 请注意，任何3或更少整数的序列都是自动允许模4的。更普遍的是，当m > k时，长度k的序列自动可容许模m。因此，可容许性的测试实际上只需要检查有限的m。
• 还请注意，2除以4，且任何可容许模2(即所有奇数或所有奇数)都自动可容许模4。更普遍地说，如果m除以n和一个序列是容许模m，则它是自动容许模。因此，为了检查可容许性，只要你愿意，只考虑素m就足够了。
• 如果a1，a2，…，ak是一个可容许序列，那么a1+c，a2+c，.，ak+c对任意整数c(正或负)也是可容许的。

数学相关性(选读)

设a1，a2，.，ak是整数序列。假设有无穷多个整数，使得n+a1，n+a2，.，n+ak都是素数。那么很容易证明a1，a2，.，ak必须是容许的。实际上，假设a1，a2，…，ak是不可容许的，设m是一个使得a1，a2，…，ak不是容许模m的数，那么无论我们选择哪个n，都必须是m的倍数n+a1，n+a2，…，n+ak，所以不能是素数。

素数k元组猜想是这个命题的逆命题，它在数论中仍然是一个广泛存在的问题:它断言，如果a1，a2，…，ak是一个可容许序列(或k元组)，那么应该有无穷多个整数n，使得n+a1，n+a2，…，n+ak都是素数。例如，可容许序列0，2得到的结论是，应该有无穷多个整数n，使得n和n+2都是素数，这是孪生素数猜想(仍未证明)。

Answer 1

果冻，10字节

JḊðḶḟ%@ð€Ạ

在网上试试！或运行所有测试用例.

               Input: L.
JḊ             Range of [2..len(L)].
  ð    ð€      For x in [2..len(L)]:
   Ḷ             [0..x-1] (residue classes)
    ḟ              without elements from
     %@            L % x.
         Ạ     All truthy (non-empty)?

Answer 2

JavaScript (ES6)，59字节

a=>a.every((_,i)=>!i++|new Set(a.map(e=>(e%i+i)%i)).size<i)

使用@KarlNapf的残余物诡计。

Answer 3

马蒂尔，11字节

"X@QGy\un>v

Truthy是一个包含所有数组(列向量)的数组。Falsy是一个包含至少一个零的数组。您可以使用此链接检查这些定义。

在网上试试！或验证所有测试用例：特鲁西，虚妄 (稍加修改的代码，每个案例产生一个水平向量以提高清晰度)。

解释

"       % Take input array. For each; i.e. repeat n times, where n is arrray size
  X@Q   %   Push iteration index plus 1, say k. So k is 2 in the first iteration,
        %   3 in the second, ... n+1 in the last. Actually we only need 2, ..., n;
        %   but the final n+1 doesn't hurt
  G     %   Push input again
  y     %   Duplicate k onto the top of the stack
  \     %   Modulo. Gives vector of remainders of input when divided by k
  un    %   Number of distinct elements
  >     %   True if that number is smaller than k
  v     %   Vertically concatenate with previous results
        % End for each. Implicitly display