学生-t分布的综合评价

Question

该合作伙伴的目标是评估学生t概率分布的累积分布函数。这并不简单，因为没有封闭形式，而且函数依赖于两个变量v和x。分布函数是

为了获得CDF，您可以将这个函数从-inf集成到x。正如您所看到的，这个函数的计算在很大程度上依赖于积分，因为您还必须计算伽马函数的非平凡值。

详细信息

您可以编写一个程序或函数，该程序或函数接受两个数字x和v作为输入，其中x是计算of的位置(必须至少接受从-10到10的浮动)，v是自由度的数目。v是一个正整数(范围为1到1450)，但必须可以将其设置为无穷大(对于v=inf，学生-t分布等于正态分布)。但是您可以指定，例如，v = -1应该表示无穷大。输出必须是0到1之间的数字，并且必须具有至少4位小数点的精度。如果您的语言不支持运行时输入或程序调用中的参数，则可以假设这两个参数都存储在变量(或另一个“内存单元”)中。

Restrictions

你不能使用特殊的函数，比如伽马函数或概率分布函数，以及数值积分函数或库(只要你不把它们的源代码包括在计算分数的代码中)等等。这个想法只是使用基本的数学函数。我试着列一张清单，列出我认为“基本”的内容，但可能还有其他一些我忘记了--如果是的话，请评论一下。

显式允许

+ - / * 
% (modulo)
! (factorial for integers only)
&& || xor != e.t.c. (logical operators)
<< >> ^ e.t.c. (bitshift and bitwise operators)
** pow (powerfunction for floats like a^b including sqrt or and other roots)
sin cos tan arcsin arccos arctan arctan2
ln lb log(a,b)
rand() (generating pseudorandom numbers of UNIFORM distribution)

评分

最少字节数获胜。

条目

请解释您的代码是如何工作的。请显示至少5个不同参数的程序输出。其中应包括以下三项。对于您自己的值，也请提供“确切”值(如wolframalpha或任何您喜欢的)。

x = 0      v= (any)  (should return 0.5000)
x = 3.078  v= 1      (should return 0.9000
x = 2.5    v= 23     (should return 0.9900)

如果可能的话，如果你能提供一些用你的程序计算出来的值的花哨图(绘图代码不算分数)，那就太好了。

(来自维基百科)：

Answer 1

BBC，155个ASCII字符，标记文件大小为140

下载http://www.bbcbasic.co.uk/bbcwin/bbcwin.html仿真器

  a=1s=.000003INPUTx,v
  IFv<1v=9999
  FORw=1TOv-1a=w/a
  NEXTb=SGN(x)*s*a/SQR(v)IFv MOD2b=b/PI ELSEb=b/2
  f=.5FORz=0TOABS(x)STEPs
  f+=b/(1+z*z/v)^(v/2+.5)NEXTPRINTf

代码分为两部分。第一个计算独立于x的系数，并将其存储在b中。这个算法有点像连续分数，但数学家可能会称它为两个乘积的简单商数。它基于问题中维基百科页面中的一个公式，它类似于一个阶乘，但是将产品(v-1)(v-3)...除以产品(v-2)(v-4)...是可能的，因为我们只对伽马函数的半积分值感兴趣(伽马函数的任意值会更难)。使用这个公式，我们不必计算任何一个伽马函数，所以我们避免了大量的数字。最大的中间值大约是v的平方根。

第二个是通过求和从0到x的直接积分。我们知道f(0)是0.5，所以我们从那里开始，然后向外工作。为了能够直接给出最终的答案，在循环之前对b的符号和大小进行了修改。

漂亮版，未镀金的

这包含了一些额外的线条，以增加颜色和绘制数据。x=0到端点的范围为f(x)=0.5至1。此外，v被修改为2^v，使其能够在不超过颜色限制的情况下显示v值的全部范围。为了加快绘制速度，s中的数字比黄金版本少两位。即便如此，与http://www.wolframalpha.com/input/?i=student+t-distribution+probability相比，只有一个差异：0.8130575值高达0.8131。黄金版本给出了正确的答案，(0.8130)对此和所有其他情况下。

  a=1                              :REM accumulator for gamma series
  s=.0001                          :REM step size for x integration
  INPUTx,v
  IFv<1 v=9999                     :REM if v<1, set v to a value that gives results indistinguishable from infinity
  GCOLv                            :REM pick a colour
  v=2^v                            :REM for the pretty version, modify v to 2^v
  FORw=1TOv-1
    a=w/a                          :REM calculate series as per Wikipedia
  NEXT
  b=a/SQR(v)                       :REM divide a by the necessary values...
  IFv MOD2 b=b/PI ELSE b=b/2       :REM to give the coefficient, per Wikipedia

  b*=SGN(x)*s                      :REM modify according to sign and step size
  f=.5                             :REM initialise f(x)=.5 at x=0
  FORz=0TO ABS(x) STEPs
    f+=b/(1+z*z/v)^(v/2+.5)        :REM perform integration as simple "barchart" sum
    PLOT69,z*100+200,(f-.5)*1600   :REM plot a point
  NEXT
  PRINT f