量子计算不可分辨

Question

如果对于有效的量子算法\sigma, \rho，|P(\mathbf{A}(\rho)=1)-P(\mathbf{A}(\sigma)=1)|可以忽略不计，我们认为两态D2是不可区分的。我想要显示的是，如果上述状态之间的跟踪距离可以忽略不计，那么它们在计算上是不可区分的。

在经典情况下，统计不可分辨性隐含着计算上的不可分辨性。现在追踪距离：D(ρ, σ) = max_{Em} D(p_m, q_m)，p_m=tr(E_m\rho),q_m=tr(E_m\sigma)，这是Nielsen书中的定理9.1 .然后，我可以应用测量概率在计算上难以区分，但不能在此之后继续。

如有任何帮助，将不胜感激。

Answer 1

维基百科明确指出，迹距离给出了区分两种状态概率的上界。。

作为一个证明，您可以使用Stinespring的膨胀定理将\mathbf{A}表示为一个酉U_A，然后跟踪另一个系统，然后测量。但是，我们可以将跟踪然后度量作为更大系统上的一些更大的A_m。因此，\mathbf{A}可以看作是一个整体式操作，其次是POVM A_m。因为单一性保留了痕迹距离：

D(\rho,\sigma) =D(U_A\rho U_A^\dagger,U_A\sigma U_A^\dagger)= \sup_{E_m}D(p_m',q_m') \geq D(\text{tr}(A_m(U_A\rho U_A^\dagger)),\text{tr}(A_m(U_A\sigma U_A^\dagger)))

我使用p'_m = \text{tr}(E_m(U_A\rho U^\dagger))的地方。

假设A_1是“1”的度量结果的运算符；那么我们就可以得出P(\mathbf{A}(\rho)=1) = \text{tr}(A_1(U_A\rho U_A^\dagger))的结论，\sigma也是这样。结果如下(缺少一些细节，但应该是直接的)。