不同扩展度地面上椭圆曲线之间的群同构

Question

给定在有限域扩张E/K上定义的K，可以找到另一条曲线E'/K'和一个群同构\phi: E/K \to E'/K'，其中K'的扩张度低于K的扩张度？

如果是K = K'，那么我们讨论定义在K上的同构，但是我要特别地寻找定义在不同扩张度的有限域上的同构。

例如，给定素数p的D9，我能找到素数r的曲线E'(\mathbb{F}_r)和保持点的相加的可逆映射\phi吗？

(动机:在E(\mathbb{F}_{p^2})中使用素数域上定义的曲线的加法实现加法)

Answer 1

假设你有E_1/K_1 \rightarrow E_2/K_2，你会怎么定义这样的同构？假设它是有理映射，那么它可以表示为一对多项式。系数在哪个领域？通常，当您说“在K上定义了一个映射/曲线”，即系数来自K时，就表示了这一点。

想象一下，在您的示例K_1 = \mathbb{F}_p, K_2 = \mathbb{F}_t中，gcd(t,p)=1显然不是K_2的子字段，反之亦然。它们的代数闭包也是不同的。

现在假设您有Q = (a,b) \in E_1(\mathbb{F}_p)，所以Q=(a,b)是\mathbb{F}_p中的一对元素。(c,d) = \phi(Q) \in E_2(\mathbb{F}_t)是\mathbb{F}_t中的一对元素。

更详细地说，c值被计算为c = \frac{f(a,b)}{g(a,b)}，其中f,g是在K_1或K_2中系数的两个变量中的多项式(为了参数起见)。

如果是f(x,y)\in K_1[x,y]，那么f(a,b)是K_1的一个元素，也必须是K_2的，因为我们假定c在K_2中。因此，K_1是K_2的一个子域。

如果是f(x,y)\in K_2[x,y]，那么在计算f(a,b)时会遇到问题。您需要在K_1 (a和b)和K_2 (coeffs in f)元素之间进行实地操作。你怎么做到的？例如，如何将v \in \mathbb{F}_5与w \in \mathbb{F}_7相乘？这毫无意义。如果K_1和K_2之间存在某种关系，而不是一般的子字段，则这是有意义的。

我认为一般来说，您需要K_1作为K_2的一个子字段，但我目前还不确定。但这只是为了淡化为什么这个问题没有真正的意义。