什么是线上的函数还是曲线上的函数？

Question

我正在阅读使用椭圆曲线的配对&所有的文本都谈到曲线上的函数。

我甚至很难弄明白“曲线上的函数”或“直线上的函数”是什么意思。

一条线或一条曲线本身的方程式是函数的形式，但我无法计算什么是“曲线上的函数”或“线上的函数”。

一些例子。

在西尔弗曼的数学密码学中，

定理5.36设E是椭圆曲线。(a)设f和f‘是 E上的有理函数。

另一篇文章说，它将首先在一行上引入函数，然后再在曲线上引入函数

在考虑椭圆曲线之前，我们首先通过在线上查看functions的例子，对除数理论做了一个简单的介绍。

上的函数到底是什么，还是曲线？如何在一条线或一条曲线上有多个函数？我所理解的是一个函数，它与曲线或直线(曲线或直线方程)相关联。很难理解一条线或一条曲线上的多个functions是什么&。

Answer 1

对于具有仿射坐标的椭圆曲线和配对，函数是相容域系数的二元X和Y中的有理函数(两个多项式的比值)。曲线是某一特定函数为零的点集。直线是下一次函数为1次多项式的曲线。曲线上的函数(通常由另一函数定义)是函数在曲线点上的值集合，即函数在另一个函数为零的地方的值。

例如，如果我们处理有理数并考虑函数C(X,Y)=Y^2-X^3+X-1。这定义了椭圆曲线E:C(X,Y)=0，我们可以把它写成E:Y^2=X^3-X+1。还考虑函数L(X,Y)=2X-Y-1，这定义了行\ell:L(X,Y)=0，我们通常可以编写\ell:Y=2X-1。虽然函数是为X和Y的所有有理值定义的，但我们可以专门处理曲线上的值。曲线上的C函数E到处都是零，但是函数L接受更有趣的值。考虑L在位于E上的(5,-11)点上进行的计算。这是20。同样，我们可以讨论“曲线”\ell上的函数(7,13)，例如，如果我们取位于\ell上的点D18，我们就可以看到C(7,13)=-168。

显然，我们可以讨论在E上定义的许多不同的函数，而不仅仅是L。

函数g定义的曲线上的函数g与由函数f定义的曲线上的函数D25之间存在有趣的关系。首先是观察到零是共享的。尤其是L on E的零是(0,-1)、(1,1)和(3,5)，它们也是C on \ell的零。