由圆函数生成的群是否生成交替群？

Question

设K,X为Let，F:K\times X\rightarrow X为函数。对于每个k\in K，让f_{k}:X\rightarrow X成为每当k\in K,x\in X时f_{k}(x)=F(k,x)的函数。假设每个f_{k}都是双射。

假设F是某些密码函数(如AES-128或某些密码函数)的圆函数。

如果F是一个密码函数，那么我不期望\{f_{k}\mid k\in K\}生成完全对称的组S_{X}，但是我希望\{f_{k}\mid k\in K\}生成交替群A_{X} (如果有任何实际的例子，f_{k}是一个奇怪的排列)。在密码学中，是否有严格证明\{f_{k}\mid k\in K\}生成或不生成交替组A_{X}的情况？例如，如果F是AES-128或DES的圆函数，那么\{f_{k}|k\in K\}是否生成交替组A_{X}？

我主要感兴趣的是函数f_{k}是圆形函数的情况，因为这种情况可能更容易分析，而且如果函数f_{k}是圆形函数，那么\{f_{k}\mid k\in K\}更有可能生成交替群。

在大多数情况下，这个问题可能是不可理解的，但在某些情况下，可以显示\{f_{k}\mid k\in K\}生成交替组A_{X}，例如过时的或不安全的加密，或者当密码有一种特殊的形式使分析变得更容易(例如Feistel密码)，甚至是为测试而设计的密码算法。

我们认为置换群S_{X}的一个子群D25是n-transitive，如果x_{1},\dots,x_{n}是X中的不同元素，y_{1},\dots,y_{n}是X中的不同元素，那么当1\leq i\leq n时，就会出现g(x_{i})=y_{i}的g\in G。

定理:假设X是有限的，|X|>24是有限的。如果G是S_{X}的4-transitive子群，则G=S_{X}或G=A_{X}。

上述定理可使证明G=A_{X}更容易。

如果\{f_{k}\mid k\in K\}不生成交替组A_{X}，那么我会拒绝使用圆函数F的任何分组密码，因为它非常不安全，因为对于任何块密码来说，|X|\leq 24太小了，或者\{f_{k}\mid k\in K\}生成的组不是4传递的。

但是，如果证明\{f_{k}\mid k\in K\}生成交替组A_{X}很容易或很容易，那么对于密码学而言，函数F可能表现得太好。

Answer 1

例如，如果F是AES-128或DES的圆函数，那么\{f_k | k \in K \}是否生成交替组A_X？

在DES的情况下，是的，我们知道圆函数确实生成交替群，如本论文 (由拉尔夫·温斯多夫所作的“DES的单圆函数生成交替群”)中所示。

我不认为AES有类似的结果。