SECP256K1的曲线类型是什么？

Question

这可能是个愚蠢的问题。我试图将SECP256K1曲线参数输入到期望任何自定义曲线的系统中。该表格要求“曲线类型”。它提供了三种选择：

• 短威尔斯
• 扭曲爱德华兹
• 蒙哥马利

我应该为SECP256K1使用什么？我验证了这里和这里，但它们告诉我们SECP256K1是一条"Koblitz“曲线。这是否与上述任何预期曲线类型兼容？

Answer 1

有曲线型，也有方程型。

作为代数对象，所有的曲线都可以用“Weierstra方程”来表示。通过变量的变化，该方程可简化为“短Weierstra格式”，对于特征大于3的有限域，其结果为：$$ Y^2 = X^3 + aX +b $$，对应于两个常数$a$和$b$。对于secp256k1曲线，方程为：$$ Y^2 = X^3 +7 $$，即常数$a = 0$，$b = 7$。

"Montgomery曲线“也可以用另一个方程表示(变量的适当变化)：$$ = X^3 + aX^2 +X $$对另外两个常数$a$和$b$。当一条曲线可以用这样的方程表示时，它允许用"Montgomery阶梯“计算点的乘法，这是一种比Weierstra方程的通用代码更简单、更快的实现机制。然而，secp256k1不能用这种方式表达。事实上，很容易看到蒙哥马利曲线必然包含点$( 0，0)$，它有2阶(因为它的坐标$Y$是0，这一点加到它自己，就会产生点无穷大)。具有奇数阶的曲线(特别是阶为大素数的曲线，如secp256k1)不能有2阶点，因此没有这样的曲线可以是Montgomery曲线。

“扭曲的爱德华兹曲线”与另一个等式一起工作，这一次是4度，它们或多或少相当于蒙哥马利曲线。在那里，secp256k1不能表示为扭曲的爱德华兹曲线。

"Koblitz曲线“(以尼尔·科布利茨命名)是指其Weierstra方程有一种特殊格式的曲线，它允许一些额外的东西。此术语已应用于二元字段(特征2的字段，其中加法为XOR)中的曲线，其方程为：$$ Y^2 + XY = X^3 + aX^2 +1 $$，其中$a$为$0$或$1$。对于具有大素数特征的有限域(例如，整数模给定素数$p$)，"Koblitz曲线“是一条方程为：$$ Y^2 = X^3 +b $$的曲线，即具有$a = 0$的短Weierstra方程的曲线。

Koblitz曲线具有内部自同态，可以利用这些自同态来提高性能(二进制曲线的提升幅度要大得多)。secp256k1是一条Koblitz曲线。

摘要：所有的曲线都是“Weierstra--”对于某些曲线，Weierstra方程有一种特殊的格式，它们被称为"Koblitz曲线“(这是secp256k1的情况)。对于一些曲线，可以使用交替方程(蒙哥马利，扭曲爱德华兹)，但secp256k1不是这些曲线之一。