希尔密码中的辅助因子矩阵

Question

我一直在读这些关于Hill密码的幻灯片。

这里说K的值如下：

开始{方程} K= \开始{p矩阵}11和8\3和7\结束{p矩阵}\\结束{p矩阵}{方程}

现在我需要计算$K^{-1}$，因此我使用协因子计算伴随矩阵。我所知道的应该是：

开始{p矩阵}7和-3\-8和11结束{p矩阵}

但在幻灯片中，似乎是：

开始{p矩阵}7和-8\-3和11结束{p矩阵}

这与我计算的不同，我做错了什么？

Answer 1

我认为调整矩阵是协因子矩阵的转置。

(顺便说一句，我不认为这是个密码问题。)

Answer 2

在任意(交换酉)环$R$上，通过首先计算行列式$f：=ad$，可以得到$$E=\begin{b矩阵}a&b&c&d&end{b矩阵}的逆，a，b，c，d在R$中(如果存在)。逆存在的当且仅当$D$是$R$中的可逆元素，当且仅当$\exists f‘\在R$中$ff'=1$.然后

$$E^{-1} =\begin{b矩阵} df'&-bf'\ -cf'& af‘\end{b矩阵}$$作为直接计算验证。

在您的例子中，行列式是$7\cdot 11-3\cdot 8= 53 =1 \pmod{26}$ (所以在$R= \mathbb{Z}{26}$中，我们在上面的公式中有$f = f‘= 1$ )。