微小面BSDFs中法线$D$分布的相互冲突定义

Question

请不要把这个问题和这一个混淆。在理解基于Microfacet的BRDF中的掩蔽遮蔽功能中，Eric将法线的分布定义为。

There，脚注甚至脚注描述都混淆了“几何曲面的每平方米”，然后就出现在分子中。在这篇引用良好的论文之前和之后，Everyone their仍然坚持认为发行版是 1/\mathbf{sr}，这会通过粗略的纠正表达式和语言解决不同的问题。有些人故意用不清楚的语言来回避这个话题(PBR书)。

I可以买到这一论点和定义，但作者在任何地方都使用该面积的概念。甚至将曲面定义为1米平方，以证明将其降为余弦归一化因子是合理的。在任何情况下，dA都不会出现，它隐式地使所有方程产生辐射强度，而不是辐射。(我知道作者说它是投影区域，但余弦本身并不是投影区域，使该区域隐式表示在缺少区域以抵消它的情况下，因为它应该是由D**编码的)**。

在栅栏的第三面，马特·法尔无法决定他站在哪一边，在托兰斯-斯派罗微面模型的推导中加入了模糊的dA，以取消它。他还建议，在证明正常化时，需要使用投影的实心角度，而没有其他人使用。

谁是对的？在这一点上，我不再感到困惑和沮丧。

Answer 1

NDF的单位很棘手。不管它有什么价值，海茨关于相对于1平方米的参考几何面来定义它的惯例是不寻常的，尽管我能理解为什么他会为了概念上的简单而这么定义它，但它并不真正符合NDF在实践中的使用方式。当我第一次在他的报纸上读到这篇文章的时候，我确实有过一段非常兴奋的时刻。

NDF的问题在于它们涉及两种不同的面积度量:宏观表面(或“几何”)面积和微表面积。据我所知，NDF单位的真正和完整定义是：

\frac{\text{micro area}}{\text{solid angle} \cdot \text{macro area}}

换句话说，如果我们在实心角\Omega区域和宏表面A区域上双积分NDF，我们就可以得到在该固体角区域内有法线的微表面的面积：

\int_\Omega \int_A D(\omega)\,dA\,d\omega = \text{total area of microfacets above $A$ with normals in $\Omega$}

请注意，这在维度上是一致的，甚至保持了两个区域度量之间的区别。dA是宏区域的一个元素，而d\omega是一个立体角度的元素，因此这些元素抵消了D(\omega)的分母。分子则是微观区域，与右手侧相匹配。

现在，如果我们忘记了这两种面积度量之间的区别，并且相互取消面积单位，我们就得到了1/\text{sr}，这与绝大多数文献的结果是一致的。但这里有个微妙之处。通常，当我们看到一个有1/\text{sr}单位的分布时，这意味着它是在球面上的分布，如果你在球面上集成它，你应该得到1。但是请注意，如果你在球面上集成NDF，一般不会得到1。相反，正如上面的定义所示，你得到了微面积与宏观面积的总比率。对于粗糙的表面，这是大于1(它是越粗糙，值越大)，因为微表面是皱缩和粗糙，因此有更多的面积比相应的宏观表面。

NDF的正确归一化条件是\int_{S^2} D(\omega) (n \cdot \omega) \, d\omega = 1 (如果您采用任何常用的NDF公式，设置一个非零粗糙度，并尝试对其进行数值积分，则可以很容易地验证它--除非使用上面的integrand，否则它们不会达到1)。

被积体中产生(n \cdot \omega)因子的原因是将微表面积转换为相应的(投影)宏表面积。换句话说，这个因子有这样的单位：n \cdot \omega = \frac{\text{macro area}}{\text{micro area}} 和这个，NDF的面积单位确实正确地取消了，剩下的是一个真正的球形分布，它集成到1。

为什么海茨会说不同的话？他希望消除“宏观面积”因素，将其设定为1平方米的标准值，然后将NDF定义为简单的\text{micro area}/\text{solid angle}。因此，它的单元变成了\text{m}^2 / \text{sr}，而规范化条件变成了\int_{S^2} D(\omega) (n \cdot \omega) \, d\omega = 1\ \text{m}^2 (cf )。方程(9)。它不再是无量纲标量1，而是面积1平方米。

我不喜欢这个定义。一方面，它确实表明NDF涉及到“某种程度”的面积，而不是简单的球面分布。它避免了一些奇怪的情况，即有两个面积测量单位取消，但其值不取消。另一方面，在现实生活中，我们显然并不只将NDFs应用于1平方米的平面上。我们希望将NDF应用到我们喜欢的任何大小的表面补丁上--比如在呈现时将其封装在像素中的贴片。实现这一点的明显方法是将1平方米的面积正常化，以便NDF表示为相对于任何期望的斑块大小的分数区域。然后你回到我在这个答案的开头所说的定义。

事实上，正如你所提到的，即使是海茨也不符合这个选择。从文中的方程(14)开始，他放弃了应该存在的隐含的1平方米因子。当他开始定义可见法线D_{\omega_o}(\omega_m)的分布时，他不再说这些单位是\text{m}^2/\text{sr}，而仅仅是通常的1/\text{sr} (cf )。表2)。

平心而论，定义了可见法线的Heitz分布，它本身就是一个合法的球面分布，通常的归一化条件是：\int_{S^2} D_{\omega_o}(\omega_m) \, d\omega_m = 1 (cf )。本文中的方程(18)，因此，为了理解这个函数的意义，不再需要考虑一些隐藏的区域单元。

可以说，BRDF和NDF应该一直都是这样定义的，将(n \cdot \omega)因子纳入函数中，这样它们将是合法的球形分布，我们可以避免所有这些麻烦。可悲的是，由于历史的路径依赖，我们没有在那里结束。

因此，总而言之，NDF的奇怪之处在于它有两个不同的区域措施隐藏在其中(国际海事组织被低估和解释不足)。如果你只看单位，他们似乎抵消，但你需要记住的领域，以正确理解NDF。