对热法的错误理解

Question

一段时间以来，我一直在试图理解一种CG纸，肯恩称之为“热方法”。

很多事情都被点击了，但我还没有完全理解。尤其是。

在下面的u中，是一个维数等于网格中顶点数的向量。

本文认为求解(id - t\Delta)u_t = u_0是表面热流的时间离散近似。重写给出：u_t = u_0 + t\Delta u_t 或英文，时间t的热流等于时间0的热流加上时间t的u的laplacian。这只是一个向后的Euler方法，非常简单。

然后我们得到：(M - tL_C)u = δγ,，概括地说，它和上面一样，只是我们把介质离散成一个三角形网格。

M是一个平方对角线矩阵，其中条目m_{i,i}是包含顶点i的三角形面积之和的2倍。在数学m_{i,i} = 2\sum_j A_j / 3中，A_j是包含顶点i的三角形区域。L_C也是一个平方对角矩阵，其中(L_C u)_i = \sum_j (\cot \alpha_{ij} + \cot \beta_{ij})(u_j-u_i)是laplace算子在顶点i上的一个逼近。

因此，操作公式：(id - tM^{-1}L_C)u = M^{-1}δγ,，这是空间离散的形式：(id - t\Delta)u_t = u_0。

所以，这在代数上是有意义的，但现在我不明白了。

为什么要这么做？为什么要解决这个方程给出正确的热扩散？让我解释一下我的意思。在我看来，测地线距离(或热流，这是同一种方法的目的)是高度依赖于一个网格的形状。因此，为了知道顶点i的测地线距离，我必须首先知道它前面的顶点相对于源的测地线距离。

然而，这个方法似乎意味着，给定一个任意的网格和该网格上的任意点p_0。我可以获取网格上的任意点p_1，告诉您从p_1到p_2的测地线距离是多少，而不必看网格的完全连通性来确定连通图。

我不完全确定我所要求的是否清楚。我理解这个问题的代数，但我不能联系这个方程是如何给你正确的热流，在一个网格上。为什么您可以在不考虑特定连接信息的情况下并行地这样做呢？

Answer 1

在求解方程(M - tL_C)u = \delta_\gamma时，必须有效地反演算子：u = (M - tL_C)^{-1} \delta_\gamma 注意到，虽然单个算子M和L_C仅是局部的，包含了关于网格的单个顶点和边的信息，但是逆算子显然不是局部的。反演是一种全局运算，它结合了被倒置的整个矩阵的信息，这意味着整个网格的信息。(请注意，由于M是对角线的，所以它有一个微不足道的逆，但是L_C绝对没有。)

在实践中，您可能并不是从字面上计算逆矩阵，而是使用高斯消元之类的方法来求解给定的u。在这种情况下，这是一个解决过程，它整合了整个网格的信息。有效的L_C编码是在相邻顶点之间编码一串约束，求解者必须同时满足整个网格的所有约束。

(请注意，这不是一个琐碎的可并行工作。有一些方法可以利用并行性来加速求解大型线性系统，但它们将是在问题的不同“尺度”之间上下传递信息的多通方法。想一想类似于并行前缀扫描或FFT之类的东西。)

顺便说一下，关于这个方程的另一个观点是，它正在求解u在u = M^{-1}(\delta_\gamma + tL_Cu) 中的不动点，这是代数重写相同方程的另一种方法。在这种形式下，它看起来很像渲染方程L = L_e + \int L \, f_{\text{brdf}}！它具有类似的结构，其中\delta_\gamma类似于发射的辐射，L_C类似于表面的散射。就像在渲染方程中一样，你正在寻找一个全局平衡解。(如果渲染被离散化，我们同样可以通过将散射算子转换成矩阵，并将整个物体分解成线性求解器来解决这个问题。)