网格上的快速精确大地测量，回溯混乱

Question

以下摘录自2005年年论文关于三角网格上的大地测量，摘自第3.5节。

在这种情况下，p是网格中任意面上的点，p'是三角形中三条边之一上的点，D(p')是到该点的测地线距离。

我对如何达到最低限度的目标感到非常困惑。论文没有详细说明，所以我认为它是微不足道的，但我没有看到我头顶的解决方案。

给定任意区间(段)，其最短点要么是点p到该段的正交投影，要么是该段的一个端点(取决于p相对于该段的位置)。

然而，这并不一定是最小化表达式||p - p'|| + D(p')的点，换句话说，p'通常不是p在段上的正交投影。

我唯一的算法是天真地检查沿段的epsilon偏移量，并选择最短的。一定有更好的办法。

我在Geogebra上画了一张图表来说明这个问题：

\overline{BA}是段，C是我们希望将距离最小化的点。D是边界点，是测地线源的正交投影(网格中所有测地线的源点)，E是C对\overline{BA}的正交投影。显然，最佳点在E和D之间，但我不知道如何找到它。

Answer 1

我找到的解决这个问题的方法是总是将边缘相交。换句话说，从点v到测地线源p的距离是||v-p'|| + ||p - p'||，其中p'是线\overline{vp}与当前边缘的交点。在p'相对于v“落后”的情况下，我们将到边缘的距离设置为无穷远。

以上所述似乎至少适用于我生成的简单测试。