BRDF规范化

Question

我不明白如何使BRDF正常化。约束条件是，对于每一条入射射线，伴生射线至多为$f_r\cdot\cos(\theta)$的半球积分$1，其中$f_r$是BRDF，$\theta$是仰角。半球的积分是：

$0 < \phi < 2\pi$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$

对于lambertian，brdf是一致的，即$f_r$ =常数，积分等于$2\pi$，所以常数应该是$2\pi$。

然而，情况并非如此。

有人知道为什么吗？我在这里看到了答案：为什么兰贝提BRDF正常化1/pi？

但我不明白，为什么来的射线是重要的？

让我们假设传入的射线在$\theta=0$中，所以值是$1$，而半球上的总和又是$2\pi$而不是$\pi$。

Answer 1

具有Lambertian BRDF的表面具有独立于观察该表面的方向的特性，即接收相同量的反射能量(即，从所有可能的方向看，漫射表面点看起来相同)。让我们考虑一个与这个查找方向正交的小平面：

• 如果一个人直视该表面(即观察方向与表面法线平行)，则该平面沿观察方向的投影比表面积为等于该平面的表面积(即正交投影)。
• 如果沿着表面的锐角看，沿观察方向将该平面投影到表面上的比平面表面积更大的是<#>much。

假定一个各向同性BRDF (即与观察方向无关的相同反射因子)，得到了半球的下列归一化因子和概率密度分布：

$\int_\Omega 1，d \ omega =\int_{0}、{2 pi\int_{0}、{pi/2} \sin \ theta、\mathrm{d} \ theta、\ mathrm{d}phi=\int_{0}、\int_{0}、{1}、\ mathrm{d}！左(因为\theta\右)、\mathrm{d}\phi = 2\pi$

$\mathrm{pdf}！\左(\theta，\phi\右) \equiv \frac{1}{2\pi}$。

不幸的是，投影面积的差异与观察方向有关，因此这种各向同性BRDF违反了Lambertian BRDF的上述定义。

为了抵消视向的投影比表面积的差异，反射因子必须补偿和依赖于观察方向。这个补偿因子是$\cos\theta$ (即从正交的，$\theta=0$减少到浏览，$\theta=\pi/2$方向)。得到了半球的下列归一化因子和概率密度分布：

$\int_\Omega \cos \ theta，d \ omega =\int_{0}、{2 pi}\int_{0}、{pi/2)cos \ cos \sin \ theta、\mathrm{d} \ theta \、\mathrm{d}phi=\int_{0}、\int_{0}{1}\int_{0}、\mathrm{d}！马斯特姆{d}\phi= \pi$

$\mathrm{pdf}！\左侧(\theta，\phi\right) =\mathrm{pdf}！\左侧(\theta\右边)=\frac{cos\theta}{pi}$

<#>或者，我们也可以从入射能量的数量(双)开始推理。兰伯特余弦定律+能量的conservation ：

$\rho_d \int_\Omega \cos\theta \，d\omega = \rho_d \pi \le 1$

(有关更多信息，请参见这篇文章，感谢@Tare。)

注意弥漫性与各向同性不同：

• 从一个表面反射兰伯人BRDF是扩散和非各向同性。
• 从一个表面的亮度感知与兰贝提安BRDF是非扩散和各向同性(即从所有可能的方向看起来一样)。

(类似于漫射区域光源。)