多项式根的多重性

Question

设p(x)是多项式。我们说a是多重k of p(x)的根，如果存在另一个多项式s(x)，例如p(x)=s(x)(x-a)^k和s(a)\ne0。

例如，多项式p(x)=x^3+2x^2-7x+4=(x+4)(x-1)^2以1和-4作为根。1是多重性2的根。-4是多重性1的根。

任务

给出一个非零多项式p(x)和它的根a，求出a的多重性。

p(x)的系数都是整数。a也是一个整数。

你可以采取任何合理的形式多项式。例如，多项式x^4-4x^3+5x^2-2x可以表示为：

• 按降序排列的系数列表：[1,-4,5,-2,0]；
• 按升序排列的系数列表：[0,-2,5,-4,1]；
• 多项式的字符串表示，具有选定的变量，例如，x："x^4-4*x^3+5*x^2-2*x"；
• 内建多项式对象，如PARI/GP中的x^4-4*x^3+5*x^2-2*x。

当你把输入作为一个系数的列表时，你可以假设前导系数(第一个降序)是非零的。

这是密码-高尔夫，所以以字节为单位的最短代码获胜。

测试案例

在这里，我按降序使用系数列表：

[1,2,-7,4], 1 -> 2
[1,2,-7,4], -4 -> 1
[1,-4,5,-2,0], 0 -> 1
[1,-4,5,-2,0], 1 -> 2
[1,-4,5,-2,0], 2 -> 1
[4,0,-4,4,1,-2,1], -1 -> 2
[1,-12,60,-160,240,-192,64,0], 2 -> 6

Answer 1

果冻，3字节

Ærċ

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将输入作为按升序排列的系数列表。TIO上的页脚反转每个测试用例以适应这种情况。

是如何工作的

Ærċ - Main link. Takes a polynomial P on the left, and a root r on the right
Ær  - Calculate the roots of P, with repeats
  ċ - Count the number of times r appears in the list of roots

Answer 2

JavaScript (ES7)，62字节

期望(root)(polynomial)，其中多项式是按升序排列的系数列表。

(r,s=0)=>g=p=>s?-1:1+g(p.map((c,i)=>(s+=c*r**i,c*i)).slice(1))

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怎么做？

这简单地递归地计算多项式的连续导数：

P_{k+1}(x)=\frac{d}{dx}P_k(x)

直到P_k(r)\neq 0并返回迭代次数。

评论

(                   // outer function taking:
  r,                //   the root r
  s = 0             //   the sum s of the polynomial evaluation
) =>                //
g = p =>            // inner recursive function taking the polynomial p[]
s ?                 // if s is not equal to 0:
  -1                //   stop the recursion and decrement the final result
:                   // else:
  1 +               //   increment the final result
  g(                //   do a recursive call with the derivative of p[]:
    p.map((c, i) => //     for each coefficient c at position i in p[]:
      (             //
        s +=        //       add to s:
          c *       //         the coefficient multiplied by
          r ** i,   //         the root raised to the power of i
        c * i       //       set the new coefficient to c * i
      )             //
    ).slice(1)      //     end of map(); remove the leading term
  )                 //   end of recursive call

59字节

一个没有slice()的版本，由@tsh建议。

(r,s=k=0)=>g=p=>s?~k:g(p.map(c=>(s+=0|c*r**i,c*i++),i=k--))

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Answer 3

Python3.8 (预发行版)，65字节

f=lambda p,r,c=0:(q:=[c:=b+c*r for b in p])!=c==0and-~f(q[:-1],r)

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除以线性因子X-根，如果余数为零，则递归.